No.4ベストアンサー
- 回答日時:
前回書きかけた、p[n] を n の式で書いてしまう方法についても、
もう少しだけ書いておきます。
No.1 さんの漸化式を借りて、q[n] = 1 - P[n] で置換すると、
q[n] = q[n-1] - q[n-x-1] (1-y)(y^x) となって定数項が消えます。
この形の漸化式の一般解は…
漸化式の q[n] を λ^x に置き換えて作った λ についての方程式
λ^(x+1) = λ^x - (1-y)(y^x) (特性方程式と言います) の解を
λ = a0, a1, a2, …, ax と置いて、重根が無ければ、
q[n] = c0(a0)^n + c1(a1)^n + c2(a2)^n + … + cx(ax)^n
と書ける定数 c0, c1, c2, …, cx が存在する
…というものです。
定数 c0, c1, c2, …, cx の値は、
初期条件 P[0] = P[1] = P[2] = … = P[x-1] = 0, P[x] = y^x
から求まります。
こう書くと、P[n] が n の式でアッサリ書けそうに見えるのですが、
実は、ちょっと問題があります。
特性方程式を解くとき、x+1 ≧ 5 だと、正確な解は求まらないのです。
「ガロア理論」というのがあって、5 次以上の高次方程式には
解の公式が存在しないことが知られています。
公式は無くとも、5 次以上でも解ける方程式はあるのですが、
今回の方程式は、λ を x と y の代数式では表せないものに当たります。
x と y の具体的な値を与えて、a0, a1, a2, …, ax の近似値を求め、
c0, c1, c2, …, cx も近似値を出して、P[n] の近似式を得る
ことしかできません。
また、a0, a1, a2, …, ax の内、実数解は、x+1 が奇数のとき 1 個、
偶数のとき 2 個しかなく、残りは虚数解(共役複素解)であることも、
話を面倒にしています。
No.3
- 回答日時:
前回の回答に
> この p[0] から p[5] を出発点に、漸化式を使って
> p[50] まで求めてゆけばいい。
>
> の求め方がわかりません。
とコメントされていたのと、
今回 No.1 さんへの
> P[n-1]+(1-P[n-x-1])の求め方がわかりません。
は、同じことを尋ねているのだと思います。
ふたりとも、要するに、
P[x+1] = P[x] + (1-P[0])(1-y)(y^x),
P[x+2] = P[x+1] + (1-P[1])(1-y)(y^x),
P[x+3] = P[x+2] + (1-P[2])(1-y)(y^x),
…
P[n] = P[n-1] + (1-P[n-x-1])(1-y)(y^x)
…
と繰り返して、欲しい P[n] が得られるまで続けろ
と言っているのです。
前回、パソコンのプログラムでそれを示したつもり
でしたが、BASIC は不案内でしたかね。
No.2
- 回答日時:
漸化式の意味がお分かりでしょうか? 有名なフィボナッチ数列 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,・・・ を例に説明してみましょう。
この数列は、F[0]=0,F[1]=1です。それ以降は F[n]=F[n-1]+F[n-2] の漸化式で与えられます。F[7]まで求めてみましょう。
F[0],F[1]は分かってますから、次はn=2すなわちF[2]を求めましょう。上記漸化式から、F[2]=F[2-1]+F[2-2]=F[1]+F[0]=1+0=1
続いて、F[3]を求めます。F[3]=F[3-1]+F[3-2]=F[2]+F[1]=1+1=2 同様にして
F[4]=F[3]+F[2]=2+1=3
F[5]=F[4]+F[3]=3+2=5
F[6]=F[5]+F[4]=5+3=8
F[7]=F[6]+F[5]=8+5=13
このように出発点(今回の場合はF[0],F[1])から始めて、順々にその次その次と求めていきます。ですから
>P[n-1]+(1-P[n-x-1])の求め方がわかりません。
の質問はピント外れなのです。これを求めるのではなく、これを使ってP[n]を求めていくのです。
No.1
- 回答日時:
前回の質問で、すばらしい回答がでていたと思うけれど・・・
求める確率をP[n]で表すと、
n<xの時:P[0]=P[1]=P[2]=・・・=P[x-1]=0
n=xの時:P[x]=y^x
n>xの時:P[n]=P[n-1]+(1-P[n-x-1])*(1-y)*y^x
漸化式の形が最も簡単に表せます。漸化式でない形式(nだけの式)にするのは、高校生では無理です。たぶん大部分の大学生でも。ついでに私も。
この回答への補足
どうもありがとうございます。
P[n-1]+(1-P[n-x-1])の求め方がわかりません。
もしよろしければご教示いただけるとありがたいです。
どうぞよろしくお願いします。
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