極限値の問題が解けません

ロピタルの定理を用いて極限値を求める問題なのですが、
(4)(5)(6)がどうしても解けません。
文系で高校時代数学IIIを選択していないので分かり易くお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/06/29 13:55

(3)くらいならまだしも、(1)や(2)にロピタルを使うのは

全くお勧めできない。どういう演習をしているのか…

(4)は、y = log x で置換すれば、ほぼ自明になってしまうが、
その後を詰める際に、ロピタルを使って、分子分母を y で微分
してもよい。ロピタルよりも、e^y の多項式近似を使ったほうが
上品ではあるが。

(5)も、sin x, cos x をマクローリン展開して、分数式の極限
として扱うほうが、遥に見通しがよいが、ロピタルを使いたいなら、
{(sin x)-x(cos x)}/(x sin x) と通分してから
分子分母を微分してゆけばよい。ロピタルを２回使うことになる。

(6)は、lim x^x = lim exp(log(x^x)) = exp(lim x log x)
と変形してから、lim (log x)/(1/x) にロピタルを使えばよい。
ここでも、y = - log x と置換して e^y の多項式近似へ持ち込む
ほうが、見通しよく、品があると思うが。