http://kenzou.michikusa.jp/Math/renDE.pdfの6ページの[計算例]を3次元に拡張すると、どうなりますか。
特に、ジョルダン標準形の場合が知りたいです。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
直リンク禁止みたいですよ。
そのリンクからだと、アクセスできません。http://kenzou.michikusa.jp/
↑の「数学」の「やさしい連立微分方程式」ですね。
2次元版から容易に想像できるように…
J =
a 0 0
0 b 0
0 0 c
のとき、
e^(tJ) =
e^(at) 0 0
0 e^(bt) 0
0 0 e^(ct)
J =
a 1 0
0 a 0
0 0 b
のとき、
e^(tJ) =
e^(at) te^(at) 0
0 e^(at) 0
0 0 e^(bt)
J =
a 1 0
0 a 1
0 0 a
のとき、
e^(tJ) =
e^(at) te^(at) (t^2/2)e^(at)
0 e^(at) te^(at)
0 0 e^(at)
…です。
a,b,c は虚数でもよいので、
回転形の A については省略します。
指数関数に限らず、一般の正則関数 f と
ジョルダン胞 J について、
f(tA) の p 行 q 列成分が
p > q のとき 0,
q - p = k ≧ 0 のとき (t^k/k!) f^(k)(at)
であることは、知っておくと便利かもしれません。
ただし、f^(k)(x) は (d/dt)^k f(t) [t=x]
の意図です。
No.2
- 回答日時:
A No.1 に書いた f の場合の公式の導出は、
f のマクローリン展開に J = λE + N (λ が J の固有値)
を代入して、各項に現れる J の巾乗を二項定理で展開
すれば、解ります。
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