数学 p=(4m-n)(n+3)が偶数なのはなぜ？

mとnは正の整数。
p=(4m-2)(n+3)

以下のどの選択肢が、いつも正しいか？
（外国語の数学の問題を日本語訳しているので、ちょっと表現がおかしいと思います）

A. pは奇数
B. pは正の数（いつもプラスであって、マイナスにはなりえないってこと）
C. pは4で割れる
D. pは偶数

答えはDの、偶数　です。

たとえば、mは2で、nが3だとして、、、と、数字を当てはめていく解き方しか、私は思い浮かびません。
そうすると時間がかかってしまいます。
どうやって解けばいいのでしょうか？

できるだけ簡単な説明でお願いいたします。

No.7 回答者： htms42 回答日時： 2013/08/06 10:04

＞ｍは2で、nが3だとして、、、と、数字を当てはめていく解き方しか、私は思い浮かびません。

これを一歩進めて
ｎが偶数の時、ｎが奇数の時・・・ｎ＝２ｋ、ｎ＝２ｋ＋１のとき
とすれば解けるのですから
特別な方法があると思ってあちこち聞きまわるというのは方向違いです。
（ｍを調べる必要はありません。ｍは４ｍという表現でしか出てきていません。４ｍは偶数であることがわかっています。）
※偶数、奇数をこのように表すのは教科書にも出てきているのではありませんか。偶数になるか、奇数になるかを問う問題ですからこのような表現で偶数、奇数を表すことができるというのは承知しているという前提でのことになりますね。（この表現は２で割り切れる、２で割ると１が余るということを表しているだけですからむつかしいものではありません。）

No.6 回答者： naniwacchi 回答日時： 2013/08/06 01:47

p= (4m-n)(n+3)= 4m(n+3)- n(n+3)

第1項は明らかに偶数、nとn+3のいずれかが偶数となるので第2項も偶数、
よって、pは偶数。

No.5 回答者： wild_kit 回答日時： 2013/08/05 20:57

　あれ、そちら（タイトル）の方が正しいのか。

ｍ、ｎは正の整数。

　ｎが奇数の時（ｎ＝２ｘ＋１）
４ｍ－ｎ　＝　４ｍ－（２ｘ＋１）　＝　４ｍ－２ｘ－１　＝２（２ｍ－ｘ）－１
２（２ｍ－ｘ）は偶数だから、２（２ｍ－ｘ）－１は奇数。
つまり４ｍ－ｎは奇数。
　ｎ＋３　＝　２ｘ＋１＋３　＝　２ｘ＋４　＝　２（ｘ＋２）
２（ｘ＋２）は偶数。つまりｎ＋３は偶数。
偶数と奇数を掛けると偶数になるので、（４ｍ－ｎ）（ｎ＋３）は偶数。

　ｎが偶数の時（ｎ＝２ｘ）
４ｍ－ｎ　＝　４ｍ－２ｘ　＝　２（２ｍ－ｘ）であり、これは偶数。
ｎ＋３　＝　２ｘ＋３　＝　２（ｘ＋１）＋１であり、これは奇数。
偶数と奇数を掛けると偶数になるので、（４ｍ－ｎ）（ｎ＋３）は偶数。

従って、ｍ、ｎが正の整数であれば何であっても、（４ｍ－ｎ）（ｎ＋３）は偶数になる。
これによりＡ（ｐは奇数）は誤りであり、Ｄ（ｐは偶数）は正しいとなる。

　Ｂ（ｐは正の数）について考えます。
ｎ＋３は常に正の数です。
４ｍ－ｎは以下の３通りが考えられます。
ａ）４ｍ＞ｎ；例えばｍ＝１、ｎ＝３の時、４ｍ－ｎ　＝　４－３　＝　１
　これは正の数になります。
　従って（４ｍ－ｎ）（ｎ＋３）は正の数になります。
ｂ）４ｍ＝ｎ；例えばｍ＝１、ｎ＝４
　これは０になります。
　また（４ｍ－ｎ）（ｎ＋３）も０になります。
ｃ）４ｍ＜ｎ；例えばｍ＝１、ｎ＝５の時、４ｍ－ｎ　＝　４－５　＝　－１
　これは負の数になります。
　従って（４ｍ－ｎ）（ｎ＋３）は負の数になります。
これらのことから、Ｂは常に成り立つわけではないことが分かります。

　Ｃ・・・面倒だなぁ(^_^;)
（４ｍ－ｎ）（ｎ＋３）が４の倍数になるには
ａ）４ｍ－ｎが４の倍数
　ｎ＝４ｘ；ｘは整数の場合、４ｍ－ｎ　＝　４ｍ－４ｘ　＝４（ｍ－ｘ）
ｂ）ｎ＋３が４の倍数
　ｎ＝４ｘ＋１；ｘは整数の場合、ｎ＋３　＝　４ｘ＋１＋３　＝　４ｘ＋４　＝　４（ｘ＋１）
ｃ）４ｍ－ｎ、ｎ＋３がそれぞれ偶数の場合。
　ｎが偶数だと、４ｍ－ｎは偶数でｎ＋３は奇数。
　ｎが奇数だと、４ｍ－ｎは奇数でｎ＋３は偶数。
　従ってｃ）はあり得ない。
以上からＣ（ｐは４の倍数）になる場合は限られていると分かる。

No.4 回答者： k14i12d 回答日時： 2013/08/05 20:10

剰余系の考え方を取り入れた議論をしてもよいでしょうか？

p=(4m-n)(n+3)
の場合、
p=(4m-n)(n+3)≡-n(n+3) mod2≡n(n+1) mod2
ここで、2数は連続する整数であるので、必ず2の倍数となる。
ちなみに、m=1n=2のとき10となるので、4の倍数とはならないことが確認されます。
p=(4m-2)(n+3)の場合
2でくくって、p=2(2m-1)(n+3)
より偶数はあきらか。2m-1が必ず奇数となるので、n+3が奇数のとき、4の倍数でないことがあります。
よって上と同じ解を得ます。2番目だと、負の数になることはあり得ないのでBも正解になるはずなので、1番目が本当の問題でしょうか笑

No.3 回答者： wild_kit 回答日時： 2013/08/05 19:58

ｐ　＝　（４ｍ－２）（ｎ＋３）＝　２（２ｍ－１）（ｎ＋３）

　ｍ、ｎは正の整数であるから、
２ｍ－１＞　＝　１、ｎ＋３　＞＝　４で、どちらも整数。
したがって、（２ｍ－１）（ｎ＋３）は正の整数。
正の整数を２倍したものは、正の整数であり偶数である。
ここから、Ａ（ｐは奇数）は誤りであり、Ｂ（ｐは正の数）、Ｄ（ｐは偶数）は正しいと分かる。

２ｍ－１は奇数であるから、ｎ＋３が偶数の時（ということはｎが奇数の時）のみＣ（ｐは４で割れる）が成り立つ。

　正しく訳されているのなら、以上の通りです。
何故Ｂが不適なのかわかりません。

No.2 回答者： m2052 回答日時： 2013/08/05 19:50

p=(4m-n)(n+3)　　　　　nが奇数ならば(n+3)が、nが偶数ならば(4m-n)が偶数。

p=(4m-2)(n+3)　　　　　(4m-2)=2(2m-1)だからいつも偶数。

mとnは正の整数ならばBの「pは正の数」も正しいですが。

No.1 回答者： pringlez 回答日時： 2013/08/05 19:13

p=(4m-n)(n+3)

p=(4m-2)(n+3)
のどっちでしょうか…。

p=(4m-n)(n+3)なら
展開すると「4mn-n^2+12m-3n」ですよね。
で、「4mn+12m」の部分は必ず偶数(かつ4の倍数)。
考えるべきは「-(n^2+3n)」だけ…。

ここにnを当てはめていけばすぐにわかるでしょう。
ただこれだとCの4の倍数になるので
p=(4m-2)(n+3)でしょうかね。でも解き方は同じです。

この回答へのお礼

＞p=(4m-n)(n+3)
p=(4m-2)(n+3)
のどっちでしょうか…。

あ、ごめんなさい、書き誤っておりました。
それでも仮定して解く事ができるというか、解く気になれるってところがすごいですね！

p=(4m-n)(n+3)　が正しいです。

解説を読んで理解いたしました。
ありがとうございました！

お礼日時：2013/08/05 19:48