数の大きい二次方程式

解決済

質問者：kotapin
質問日時：2013/09/06 23:15
回答数：7件

49x^2－980x－200=0
の解を求めるとき、解の公式をつかうと計算が大変で、因数分解だと、時間がかかります。何かいい方法ありますか??

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回答 (7件)

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No.7ベストアンサー

回答者： mnakauye
回答日時：2013/09/07 15:41

　こんにちは。

>
>解の公式をつかうと計算が大変で、
>因数分解だと、時間がかかります。
>何かいい方法ありますか??

　その何か良い方法を考えるのが、
この種の問題の大きなテーマです。

　係数をじっくり眺めれば、

　ax^2+bx+c=0

の　aが７の二条です。
また　ｃの部分が、2×１０の二乗です。

　それで　ｂの部分を見れば　7×１０×１４ですから

　　（７ｘ）＾２－１４（７ｘ）（１０）ー２（１０）＾２＝０

　だから、７ｘをＡ、１０をＢとすると

　　　Ａ＾２－１４ＡＢー２Ｂ＾２＝０

　　　Ｎｏ．４の方が答えておられるように、t=A/B　つまり　ｔ＝7x/(10)とおけば

　　　ｔ＾２－１４ｔ－２＝０

　　　の式と同じになりますね。

　　これが因数分解はできませんから、

　　もとの式も因数分解できないこともわかります。

　　ここまでが、この主の問題の考え方です。

　　係数を良く見たり、知っている式（公式）としっかり比べる習慣をつけましょう。

　あとは

　　　解の公式で　ｔ＝７±√（４９＋２）＝７±√（５１）

　　　ｘ＝１０ｔ/7ですから、

　　　ｘ＝[７０±１０√（５１）]／７

　以上です。

　　

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この回答へのお礼

ありがとうございますヽ(*´∀｀)ノ♪

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お礼日時：2013/09/21 10:28

No.6

回答者： bgm38489
回答日時：2013/09/07 00:09

因数分解だと時間がかかるといいますが、これは見当がつけやすいパターンです。

まず、４９は、１＊４９と７＊７にしか分解できない。それぞれと、－２００を分解したものを掛け合わせ、足し引きしたものが、－９８０という７の倍数だ。すると、足し引きする二つのものは、共に７の倍数か、共に７の倍数でないことになる。結論として、７＊７に分解すればよい。
後は、－２００を分けて、７＊何ぼと７＊何ぼを足し引きして、－９８０にすればよいが、－９８０は１０の倍数だから、－２００は１０と２０、－になるのだから、１０とー２０だ。
すると、（７ｘ＋１０）（７ｘ－２０）と見当がつく…展開すると、あれっ、４９ｘ＾２－７０ｘ－２００？
もともと、因数分解できるの?

解の公式で求めると、xの係数が偶数だから、
ｘ＝（490±√（240100－9800））/49
　＝（490±√230300）/49　
　＝(490±70√47)/49　(70±10√47)/7
ｘが有理数にならない（√が入る）ということは、因数分解できません。解の公式を使うしかなかった、ということですね。

ちなみに、ｘの係数が偶数だから、、のところは、
ax^2+bx+c=0のbがb=2b'とおけるとき、
x=(-b'±√(b'^2-ac))/a
に基づきます。

－２００が違う数字のような気がしますがね。
そもそも、こんな大きい係数を使った式が、因数分解できないはずがありません。そんな問題を出しても意味がないからです。勿論、この式が実験から求まったものなら、あるいは、適当に考えた式なら、その限りではありませんがね。