極値の問題です 途中式もお願いします

座標平面上の曲線Cが、媒介変数t（t≧0)によってx=tcost, y=tsintと表されているとする。自然数ｎに対しt=nπに対応する点をPnとする
(1)曲線C上の点(tcost.tsint)における接線の方程式をt（t＞0)で表せ
(2)nを偶数とする。このとき曲線C上の2点Pn,Pn+2における接線の交点の座標を求めよ
(3) (2)で求めた交点はすべてある放物線上にある。この放物線の方程式を求めよ

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/09/21 20:16

(1)

動点 v(t) の t における接線のパラメータ表示は、
v + (dv/dt)u ; u がパラメータ。実数値をとる
です。接線の定義どおりです。
これを成分ごとに書くと、
x = (t cos t) + (cos t - t sin t)u,
y = (t sin t) + (sin t + t cos t)u.
ここから u を消去すれば、接線の方程式表示になります。
(sin t + t cos t)x - (cos t - t sin t)y = t^2
です。

(2)
(1) を使って Pn, P(n+2) における接線を書き下すと、
連立一次方程式
(nπ)x - y = (nπ)^2,
(nπ+2π)x - y = (nπ+2π)^2
を解く問題となります。
x = 2(n+1)π,
y = n(n+1)π^2
です。

(3)
(2) の答えから n を消去すれば、
交点が満たす等式が得られます。
y = (x/2)(x/2 - π).
です。放物線になっていますね。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/09/21 20:30

あ、かぶった。

(2) は、A No.2 にミスあり。
A No.1 の言うとおりで、
x = 2(n+1)π,
y = n(n+2)π^2
ですね。

すると、(3) は、両方間違っていて、
y = (1/4)x^2 - π^2
です。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2013/09/21 20:15

（1）

dx/dt=cost-tsint, dy/dt=sint+tcost

dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(sint+tcost)/(cost-tsint)

点(tcost.tsint)における接線の方程式:

y-tsint=[( sint+tcost)/(cost-tsint)](x-tcost)

整理して

y=[(sint+tcost)x-t^2]/(cost-tsint)

(2)

Pnではt=nπ=2mπ、(x,y)=(2mπ,0),傾き＝[(sint+tcost)/(cost-tsint)]=2mπ

接線　y=2mπ(x-2mπ)

Pn+2ではt=(n+2)π=2(m+1)π、(x,y)=(2(m+1)π,0),傾き＝[(sint+tcost)/(cost-tsint)]

=2(m+1)π

接線　y=2(m+1)π(x-2(m+1)π)

交点Qでは
　
2mπ(x-2mπ)＝2(m+1)π(x-2(m+1)π)

x=2(2m+1)π, y=4π^2m(m+1)

nに戻して

Q(2(n+1)π, n(n+2)π^2)

(3)

X=2(n+1)π, Y= n(n+2)π^2

からnを消去する。

Y=X^2-4π^2