指数対数最大最小

x≧3,y≧3,x^2y＝3^6のとき

1.
log3xおよびlog3yのとりうる値の範囲を求めよ。

2.
（log3x）（log3y）の最大値と最小値を求めよ。

x^y＝3^6を
低3の対数をとって
log3x＝X,log3y＝Yとすると
その後どうしていいかわかりません。

解き方を教えて下さい。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2013/10/28 05:11

log3x＝X,log3y＝Yとすると

x^2y＝3^6より

2X+Y=6　　(1)

x≧3,y≧3より

X≧1、Y≧1　　(2)


1.log3xおよびlog3yのとりうる値の範囲を求めよ。

要するに(1)、(2)の条件下において、X,Yのとりうる範囲を求めればよい。

XY平面上に(1),IIを図示すると一目瞭然。

1≦X≦5/2, 1≦Y≦4 (3)


2.（log3x）（log3y）の最大値と最小値を求めよ。

(1)、(3)の条件下において、Z=XYのとりうる範囲を求めればよい。

(1)より

Y=6-2X

Z=XY=X(6-2X)=-2X(X-3)=-2{(X-3/2)^2-9/4}=9/2-2(X-3/2)^2

XZ平面においてZのグラフを書き、1≦X≦5/2の間における最大最少を求める。

答え　z=(log3x)(log3y)は
　　　X=3/2のとき,すなわちx=3^(3/2)=3√3のとき最大値9/2、
　　　X=5/2のときすなわちx=3^(5/2)=9√3のとき最小値5/2