中学受験 算数、規則性の問題を教えてください

息子が小６、受験生です。
私が教えてあげられないのがお恥ずかしいのですが、いくら考えても解けないので教えてください。
よろしくお願いいたします。


問題）長さ１cmの針金が何本かあります。
　　　　この針金を使って図のように、１辺の長さが１cm、２cm、３cm・・・の正三角形を作っていき
　　　　これらの正三角形を順に　１番目、２番目、３番目・・・とします。
　　　　このとき、次の問題に答えなさい。

（１）８番目の正三角形で使われている針金の本数を答えなさい。
（２）使われている針金が５１３本である正三角形は何番目になりますか？　
（３）２０１３本の針金をできるだけ多く使って、何番目かの正三角形を作りました。
　　このとき、余った針金の本数を求めなさい。


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補足）　（１）は解けました。（２）も、なんとか「勘」と「力技」で答えは出せましたが
　　　　　規則性を利用して解いていないため、（３）が解けません。　　
　　　　　「勘」ではなく、きっと何か規則性を利用して解けると思うのですが・・・、
　　　　　自力ではサッパリ、解けませんでした。
　　　　　ちなみに答えは下記の通り、分かっておりますので、考え方を教えてください。　
　　　　　
　　　　　（１）１０８本、（２）１８番目、（３）１５本　
　　　　

　
以上、どうかよろしくお願いいたします。

　　

　
　　　　

No.4 ベストアンサー 回答者： redgarbera 回答日時： 2013/11/06 11:02

す、すみません！　　No.２です。

2017÷３は671でしたね。こちらの誤りです。失礼しました。

この回答へのお礼

疑問がクリアになりました、重ね重ねありがとうございます。
図解までして頂き分かりやすくご丁寧に解説して下さり感謝致します。本当にありがとうございました。

お礼日時：2013/11/06 11:16

No.3 回答者： tatata-0000 回答日時： 2013/11/06 10:37

本数をどう数えるか。

外側に大きな三角形ができる。
中に小さな三角形がいくつかできるが、そのうち外枠と辺を共有していないものだけを見る。
ちなみに、「外枠と辺を共有していない三角形」は、下向きの三角形ですな。
１　外側３本　中の三角形０個→０本
２　外側６本　中の三角形１個→３本
３　外側９本　中の三角形３個→９本
４　外側１２本　中の三角形６個→１８本

見ていくと、外側は、○番目のとき１辺の長さも○になることはまあわかりますな。
　ですから、○番目のとき、本数は（３×○）本です。これは簡単。

さて、下向き三角形の数は、○番目というのとき（○－１）個ずつ増えていくこともわかりますな。
（下に段を足していくというように見ればわかると思います。）
つまり、○番目のときの下向き三角形の数は、
０
１
１＋２
１＋２＋３
１＋２＋３＋４
というようになっています。
つまり、１から（○－１）までを足した数が、下向き三角形の数になり、
　ですから、○番目のとき、本数はその３倍です。

ということは、○番目のとき
下向き三角形　１から（○ー１）まで足して　その３倍
外枠三角形　○　その３倍

あらら　○番目のとき　１から（○ー１）まで足して、さらに○を足して　その３倍だ！
１から○まで足して　その３倍だ！

小学生的にはこのくらいでいいんじゃないのかなあ。

（１）
８番目　１＋２＋…＋８＝３６　とかは計算できますよね。（ガウスのやり方知ってますよね。）
この３倍。

（２）
１０番目　１＋２＋…＋１０＝５５　３倍しても全然たりない。
２０番目　１＋２＋…＋２０＝２１０　３倍したら多すぎる。
１８番目　１＋２＋…＋１８＝１７１　これだ！

（３）
４０番目　１＋２＋…＋４０＝８２０　ちょっと多すぎる
３７番目　１＋２＋…＋３７＝７０３　まだ多い　３倍したら２０１３を超えちゃう
３６番目　１＋２＋…＋３６＝６６６　これかな？　３倍して１９９８　残りは１５本

こんな感じでどうでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
確か、昨日も図形の問題でお世話になりましたよね。本当にありがとうございます。
実はこの質問を書き込み中に改めて「一辺が1cm、2cm…」という部分が気になりまして、出来上がる大きな三角形の辺の一辺の長さと、中にできる小さな三角形の関係についてまでは目が行ったのですが…。上向きの小さな三角とその数のことばかり考えていたものですから、うまく規則性が見つけられずに悪戦苦闘しておりました。
ありがとうございました。
今後もまたお願いすることがあるかもしれませんが、どうぞよろしくお願いいたします。

お礼日時：2013/11/06 11:08

No.2 回答者： redgarbera 回答日時： 2013/11/06 10:26

こういう問題では、添付した図の○をつけた三角形だけを見るようにしましょう。

○をつけていない三角形は無視しても針金の本数は変わらないからです。
すると、１段目には三角形が１個、２段目には２個、３段目には３個あることがわかりますね。
ということは、例えば10段目には10個あるわけですから、10番目の図形にある三角形の数は１から10までを足したものになります。これは受験生なら誰でも知っている等差数列の公式を使って、（１＋10）×10÷２で55個と出せるでしょうし、この55はよく出てくるのでお子さんももう覚えてしまっているでしょう。三角形が55個あるということは、針金の数は55×３で165本あるということになります。

（２）　　513本の針金を使っているのですから、三角形は513÷３で171個あることになります。この程度の数なら、先ほど述べた55に足していって答えを出してもかまいません。10番目が55個なのだから11番目はそれに11を足して67、12番目はそれに12を足して79、と順に足していくと18まで足したところで171になります。

（３）　　2013本の針金を使うと673個の三角形ができますね。これでなるべく大きな図形を作ります。ここで答えを□とおきましょう。□番目の図形を作るわけです。で、この□番目の図形に使われる三角形が673個以下でなるべく多くなればいいんですね。これを式で書くと、（□＋１）×□÷２が673以下でなるべく大きな数になればいいわけです。しかしこれはあてはめで解くしかありません。まず□を30として計算してみると（□＋１）×□÷２の答えが465になり、□を40として計算してみると答えが820となりますから、求める数は30と40の間にあるはずです。この中でいくつか調べてみると、□が36のときに答えが666になり、□が37のときに答えが703になることがわかりました。ということは□は36です。そして、この36番目の図形の中には三角形が666個あり、そこに使われている針金は666×３で1998本あるのですから、2013－1998であまりは15本ということになります。

このように、等差数列の問題ではだいたいの見当をつけて答えを探していくそいう作業をしなければならないこともあります。

以上ですがいかがですか。わかりにくいところや間違っているところがあったら補足をつけて下さいね。

この回答への補足

ありがとうございます。
こういう問題でも規則性にのっとれば、バチッと計算で出るものだと思って、そればかりを考えておりました。
（１）、（２）までの解き方は私が考えていたものと同じでした。ホッとした気分です。
（３）も同じように解いて行けばよい、ということも分かりました。ただ１つ教えて頂きたいのですが、
２０１３本の針金を使ってできる三角形は６７３個なのはどうしてでしょうか？
私は2013÷3＝671で６７１個として考えていたのですが・・・。

補足日時：2013/11/06 10:43

No.1 回答者： tomoka_m 回答日時： 2013/11/06 09:37

元塾講師＆非常勤講師です。

こういう場合、（３）のヒントが（１）と（２）になります。
試行錯誤する事が数学では必須なので、問題文の
情報を図に描きながら試行錯誤しましょう。

ただ、親御さんが解けないようですと、子供に数学を
教えるのは止めた方がいい。害悪にしかならない。

まあ、いつものパターンだとカンニングっぽいかな。
（２）の解き方をなぞればいい。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
確かに、もう親の私では手におえないレベルなので、親が頑張って解くよりも塾の先生に質問すればいいことなのですけど。

お礼日時：2013/11/06 11:21