図のように、ピラミッド状にしきつめた正三角形に自然数が規則的に書かれている。 (1)2020は、何段

図のように、ピラミッド状にしきつめた正三角形に自然数が規則的に書かれている。
(1)2020は、何段目の左から何番目の数か。
(2)ある段の左端の数と右端の数の和が19802であるという。この段は何段目か。
(3)n段目の総和と、(n+1)段目の総和の差をとると、1352になるという。このときのnの値を求めなさい。

この問題教えてください。二次方程式です。

No.4 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/09/21 00:32

右端は1、4、9、16、25で1²、2²、3²、4²、5²になるので、

n段目のときは、n²になります。
それより前のn-1段目のときは、(n-1)²になります。
左端の数字は前の右端の数字の1大きい数なので、(n-1)²+1になります。
1段にある数字の個数は1、3、5、7、9個で2倍した数より1小さい数になっていますので、
n段目の数字の個数は、2n-1です。
こういう準備をして問題を解きます。

(1) 2020に近い2乗の数は45²=2025です。したがって、2020は45段目にあることがわかります。
45段目の数字の個数は、2×45-1=90-1=89
2025が45段目の89番目の数なので、
2020は、2025-2020=5　89-5=84で、右から84番目
間違えやすいので確認します。
2020,2021,2022,2023,2024,2025
　84　　85　　86　 87 　88　　89
5段目を見ても確認できます。25が9番目ですから。

(2)　(n-1)²+1+n²=19802
　　　n²-2n+1+1+n²=19802
　　　2n²-2n+2=19802
　　　2n²-2n-19800=0
　　　n²-n-9900=0
　　　(n-100)(n+99)=0
　　　n=100,-99
　　　nは自然数よりn=100
　　　100段目

(3)　増え方が同じときの総和は、(先頭の数字+最後の数字)×(並んでいる数字の個数)×1/2

n段目の総和 ={(n-1)²+1+n²}×(2n-1)×1/2
　　　　　　　　　=(n²-2n+1+1+n²）(2n-1)×1/2
　　　　　　　　　=(2n²-2n+2)(2n-1)×1/2
　　　　　　　　　=2(n²-n+1)(2n-1)×1/2
　　　　　　　　　=(n²-n+1)(2n-1)
　　　　　　　　　
n+1段目の総和はn段目の総和の式のnをn+1に置き換えれば求まります。
n+1段目の総和 ={(n+1)²-(n+1)+1}{2(n+1)-1}
　　　　　　　　　　 =(n²+2n+1-n-1+1)(2n+2-1)
　　　　　　　　　　 =(n²+n+1)(2n+1)

(n+1段目の総和)-(n段目の総和)=1352
(n²+n+1)(2n+1)-(n²-n+1)(2n-1)=1352
(n³+n²+2n²+n+2n+1)-(n³-n²-2n²+n+2n-1)=1352
n³+n²+2n²+n+2n+1-n³+n²+2n²-n-2n+1=1352
6n²+2=1352
6n²=1350
n²=225
n=±15
nは自然数より、n=15

No.3 回答者： shut0325 回答日時： 2020/09/20 23:45

2だけ

段数をnとしたとき、

右端は　n^2で表せます。左端は　n^2-2(n-1)。
ただしn≧2のとき。

その和ですから、

2n^2-2(n-1)=19802

n^2-n=9900

見やすくすると、
n　ｘ　(n-1)　=　9900

速攻で分かりますが　100ｘ99ですよね。

なので、100段目です。

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/09/20 21:25

計算してみたけど、(2)と(3)が自然数にならない。

どっか計算ミスしているんだろうか…。

右端の数字をみると、段数の2乗になっている。よって、

n段目の右端の数は n^2 となる。
n段目の左端の数はn-1段目の右端の数+1になるので、(n-1)^2 + 1 となる。
n段目の個数は2n-1個となる。

(1) 45^2=2025より、2020は45段目となる。
45段目の個数は2×45-1=89個なので、2020は左から83番目となる。

(2) (n-1)^2 + 1 + n^2=19802
2n^2 - 2n + 1=19802
2n^2 -2n - 19801=0
これを解けばいいのだけれと、nが自然数にならない。
n=(1+√19802)/2

(3) Σ[k=1, 2n+1] n^2 + k - Σ[k=1, 2n-1] (n-1)^2 + k=1352
n^2 + (2n+1)(n+1) - (n^2 - 2n + 1) - (2n-1)n=1352
2n-1 + (2n^2 + 3n + 1) - (2n^2 - n)=1352
6n=1352
n=676/3

No.1 回答者： korochan0525 回答日時： 2020/09/20 21:11

45段目