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A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
右端は1、4、9、16、25で1²、2²、3²、4²、5²になるので、
n段目のときは、n²になります。
それより前のn-1段目のときは、(n-1)²になります。
左端の数字は前の右端の数字の1大きい数なので、(n-1)²+1になります。
1段にある数字の個数は1、3、5、7、9個で2倍した数より1小さい数になっていますので、
n段目の数字の個数は、2n-1です。
こういう準備をして問題を解きます。
(1) 2020に近い2乗の数は45²=2025です。したがって、2020は45段目にあることがわかります。
45段目の数字の個数は、2×45-1=90-1=89
2025が45段目の89番目の数なので、
2020は、2025-2020=5 89-5=84で、右から84番目
間違えやすいので確認します。
2020,2021,2022,2023,2024,2025
84 85 86 87 88 89
5段目を見ても確認できます。25が9番目ですから。
(2) (n-1)²+1+n²=19802
n²-2n+1+1+n²=19802
2n²-2n+2=19802
2n²-2n-19800=0
n²-n-9900=0
(n-100)(n+99)=0
n=100,-99
nは自然数よりn=100
100段目
(3) 増え方が同じときの総和は、(先頭の数字+最後の数字)×(並んでいる数字の個数)×1/2
n段目の総和 ={(n-1)²+1+n²}×(2n-1)×1/2
=(n²-2n+1+1+n²)(2n-1)×1/2
=(2n²-2n+2)(2n-1)×1/2
=2(n²-n+1)(2n-1)×1/2
=(n²-n+1)(2n-1)
n+1段目の総和はn段目の総和の式のnをn+1に置き換えれば求まります。
n+1段目の総和 ={(n+1)²-(n+1)+1}{2(n+1)-1}
=(n²+2n+1-n-1+1)(2n+2-1)
=(n²+n+1)(2n+1)
(n+1段目の総和)-(n段目の総和)=1352
(n²+n+1)(2n+1)-(n²-n+1)(2n-1)=1352
(n³+n²+2n²+n+2n+1)-(n³-n²-2n²+n+2n-1)=1352
n³+n²+2n²+n+2n+1-n³+n²+2n²-n-2n+1=1352
6n²+2=1352
6n²=1350
n²=225
n=±15
nは自然数より、n=15
No.3
- 回答日時:
2だけ
段数をnとしたとき、
右端は n^2で表せます。左端は n^2-2(n-1)。
ただしn≧2のとき。
その和ですから、
2n^2-2(n-1)=19802
n^2-n=9900
見やすくすると、
n x (n-1) = 9900
速攻で分かりますが 100x99ですよね。
なので、100段目です。
No.2
- 回答日時:
計算してみたけど、(2)と(3)が自然数にならない。
どっか計算ミスしているんだろうか…。
右端の数字をみると、段数の2乗になっている。よって、
n段目の右端の数は n^2 となる。
n段目の左端の数はn-1段目の右端の数+1になるので、(n-1)^2 + 1 となる。
n段目の個数は2n-1個となる。
(1) 45^2=2025より、2020は45段目となる。
45段目の個数は2×45-1=89個なので、2020は左から83番目となる。
(2) (n-1)^2 + 1 + n^2=19802
2n^2 - 2n + 1=19802
2n^2 -2n - 19801=0
これを解けばいいのだけれと、nが自然数にならない。
n=(1+√19802)/2
(3) Σ[k=1, 2n+1] n^2 + k - Σ[k=1, 2n-1] (n-1)^2 + k=1352
n^2 + (2n+1)(n+1) - (n^2 - 2n + 1) - (2n-1)n=1352
2n-1 + (2n^2 + 3n + 1) - (2n^2 - n)=1352
6n=1352
n=676/3
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