積分の微分

以下x＞0

F(x)=∫[x,x^2]logtdt=∫[1,x^2]logtdt-∫[1,x]logtdt

よってdF(x)/dx=logx^2-logx=logx

となりました。答えは（4x-1）logxです。

間違いをおしえてください！

No.3 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/02/04 00:40

大意で #2 に賛成なんだがちょっとだけ:

まず, この問題だけに関していえば log x の原始関数を求めなければならない理由はありません. log x の原始関数を G(x) とでもおけば
F(x) = G(x^2) - G(x)
で, これを微分したときに
dG(x)/dx = log x
となることだけ頭にあればいい. まぁ合成関数が微分できるかどうか, だな.

あと, 特に
「0<c<xを満たすc」
をとりあげる必然性もありません. もちろん「1 を下端におく」必然性があるわけでもないですが.

この回答へのお礼

お礼遅くなりました！ありがとうございます！！！

お礼日時：2014/03/06 19:05

No.5 回答者： chikorin00 回答日時： 2014/02/04 10:03

y=x^2とおけば、

(d/dx)∫[1,x^2]log(t)dt=(dy/dx)(d/dy)∫[1,y]log(t)dt
=2xlog(y)=2xlog(x^2)=4xlog(x)

となると、
dF(x)/dx=4xlog(x)-log(x)=(4x-1)log(x)
というわけですよ。

No.4 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/02/04 07:22

補足

間違いを指摘して欲しいといったんですが・・・
＞∫[1,x^2]logtdt≠∫logx^2dx
∫[1,x]logtdt≠∫logxdx

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2014/02/03 21:49

logtの積分は極めて基本的なもので、しっかりできることが必要です。

部分積分を使えばよろしい。

∫logtdt=∫1*logtdt=∫f(t)'g(t)dt=f(t)g(t)-∫f(t)g(t)'dt=tlogt-∫t/tdt=tlogt-t

ここで1=f'(t), logt=g(t)とみています。よって

F(x)=∫[x,x^2]logtdt=[tlogt-t][x,x^2]=x^2logx^2-x^2-(xlogx-x)=(2x^2-x)logx-x^2+x

dF(x)/dx=(4x-1)logx+(2x^2-x)/x-2x+1=(4x-1)logx


質問者の間違い点

d[∫[1,x^2]logtdt]/dx=logx^2としているところです。logtの積分を行いtにx^2を代入してxで微分する操作をいい加減にやっています。


また1を途中にかませたような計算をしていますが

やるとしたら1の代わりに

0<c<xを満たすcでしょう。x<1の場合は質問者のやり方は変な感じがします。

No.1 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/02/03 21:10

＞logt=sとおくと、(1/t)dt=ds、dt=tds=e^sdsだから

∫logtdt=∫se^sds=se^s-∫e^sds=se^s-e^s+C(定数)
=(s-1)e^s+C=(logt-1)t+Cだから
F(x)=∫[x,x^2]logtdt={(logt-1)t}[x,x^2]
={(logx^2-1)x^2}-{(logx-1)x}
=(2x^2-x)logx-x^2+x
よって
dF/dx=(4x-1)logx+(1/x)(2x^2-x)-2x+1
=(4x-1)logx+(2x-1)-2x+1=(4x-1)logx

この回答への補足

間違いを指摘して欲しいといったんですが・・・

補足日時：2014/02/03 21:30