有名なゼノンの逆理のひとつアキレスと亀の問題の解説のひとつに、「無限に足していくことはできるが最終的に和2を持つから追いつく」というものがありました。
つまり、「アキレスの1/2の速度を持つ亀を、アキレスが追い越すとき、その計算は1+1/2+1/4+・・・と無限に加算することとなるが、和2を持つので追いつく」ということです。
ここで数学が素人の私は、無限に続くのになんで和2を持つと証明できるの?と思ってしまいます。
ずーっと加算していっても、永遠に到達できない点が無限である所以ではないのでは?という(屁)理屈です。
1億桁計算しても、1京桁計算しても、1不可思議桁計算しても2ではないのなら、なぜ2と言えるのか?そもそも無限に計算することなんて無理なのでは?

どこを誤解してるのでしょう?

これが無限と言うものであるのであれば、他の対象を取り扱った無限、例えば熱力学第3法則(でしたっけ?)「有限回数の操作で絶対零度に到達することは不可能」というのは、無限回数の操作では到達できると言うことで、アキレスの問題でできるなら絶対零度だってと思ってしまいます。

私の誤解を一刀両断にしてくれる回答をお待ちしております。

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A 回答 (12件中11~12件)

えーと、半端な回答になってしまうのですけど。

。。
等比級数1/2、1/4、1/8、・・・、(1/2)^∞の和は1になるからです。「収束」とした方がいいのかな。。。
タブン上の方に詳しい方が回答されると思うんですけど。

ゼノンのパラドックスについは結局、カメに追いつくまでの作業を細かく分けて考えているだけなんですよね。

この回答への補足

そうねんですよね。

(1).「追いつく」間での作業を無限に細かくできる
(2).1より、計算で求めようとすれば無限回計算する必要がある。
(3).無限回計算することは不可能である。
(4).2および3より計算している間はいつまでも追いつけない。
(5).しかし、終わることない計算のはず(無限に計算するのが不可能なのは、無限に数えられないのと同じ)なのに、「追い越す」ことができる。つまり計算している間は追いつけないのに、無限の彼方に(無限の計算がなされたとすると)追いついている。

いやはや。もしかして言葉の意味とかも関係してくるのでしょうか?

補足日時:2001/06/03 09:09
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
補足の方もご覧ください。

お礼日時:2001/06/03 09:02

秒速2mのアキレスと、秒速1mの亀、亀はアキレスの2m手前からスタート、とすると、



ゼノンの言い分は、
スタート1秒後:アキレスは亀のスタート位置、亀はその1m前
そこから0.5秒後:アキレスは亀のスタート位置+1m、亀は0.5m前
そこから0.25秒後:アキレスは亀のスタート位置+1.5m、亀は0.25m前
・・・
だからアキレスは亀に追いつけないというものですね。
この計算を無限に進めると「スタートから2秒後にアキレスは亀に追いつく」が求まります。「スタートから2秒後」がミソです。有限時間です。

別の言い方をすれば、ゼノンは「2秒未満ではアキレスは亀に追いつけない」といっているに過ぎないのです。

一方絶対零度の方は、毎回の操作は同じ時間と考えるのですよね。
1回目の操作:絶対X度
2回目の操作:絶対X/2度
3回目の操作:絶対X/4度
・・・
この計算を無限に進めると「無限回の操作で絶対零度」になります。しかし、この場合、必要な時間が有限ではないのです。

2回目以降の操作が前回の操作の半分の時間になるなら、アキレスが亀に追いつくのと同様に、有限時間で絶対零度にたどり着けます。

この回答への補足

なるほど。
まず、熱力学第3法則?はなぜ真なのかは理解できました。ゼノンの方が有限時間の中で無限に計算するのに対し、到達するのに使う時間が無限だからと言うことですね。しかし、

♪この計算を無限に進めると「スタートから2秒後にアキレスは亀に追いつく」が求まります。

無限回計算をするのに、なぜしゅるしゅると「2」と言う解に到達するのが理解できません。人間の神経伝達速度より速い、コンピュータの計算をつかさどるパルスの速さをもってしても、計算する回数が無限なら、なぜ解が有限時間になるのでしょうか?
あの、一応弁解しますが、私ももちろん本気で追いつけないとは思っていないんです(当たり前ですが)。でも、無限を考えるとどうも論理的帰結に矛盾が生じると感じてしまうんです。
無限を数えることはできても(アレフ・ゼロ)無限に数えることはできない・・・と思ってます。

補足日時:2001/06/03 03:33
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この回答へのお礼

深夜にも拘らず素早いご回答どうもありがとうございます。
補足の方もご覧ください。

お礼日時:2001/06/03 03:33

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Q「頭悪いね」「バカだね」 どっちがよりムカつく?

こんにちは、

単純な質問です。

「お前、頭悪いな」

「お前バカだな」

どっちがより言われたらムカつきますか?

Aベストアンサー

どっちもそれなりにムカつきますけど・・・「頭悪いな」かな~

そう言う事を他人に平気で言う奴ほど、バカで頭の悪い人はいないと思いますけど・・・ね?
我がふりなおせよ~ってな感じです。

でもやっぱり傷つくな~否定はしないけど(苦笑)

Qアキレスと亀

アキレスがいるのは基準点の位置(0m)です。
もう一方の亀はアキレスから10m離れた位置にいます。

よ~いドン!で同時に同じ方向に進むとします。
もちろんアキレスは亀を追いかけます。
スピードは、アキレスが1m/秒、亀は0.1m/秒です。

基準点から見て何m(何秒)でアキレスと亀は並ぶでしょうか?

どうやって計算するかも書いて下さい。
出来たら+-×÷だけでお願いします。

Aベストアンサー

普通に解けば小学生の問題です。すでに前の方が回答されているように1秒間にアキレスは亀に1-0.1=0.9 mずつ近づくということから答えはでます。10mをこの数字(0.9m/sec)でわった秒数で追いつきます。
そう考えないのなら、
1.初めに亀のいたところまで10m/(1m/sec)=10secで行く。この時亀は0.1x10=1m進んでいる。
2.二回目に亀のいたところまで1m/(1m/sec)=1secで行く。この時亀は0.1x1=0.1m進んでいる。
3.三回目に亀のいたところまで0.1m/(1m/sec)=0.1secで行く。この時亀は0.1x0.1=0.01m進んでいる。
.........
となります。これよりアキレスが次々と費やしている時間は
10+1+0.1+0.01+....
となり初項10、公比0.1の等比級数になることがわかります。(収束値;10/0.9=11.1111...)しかし、この級数の和の公式をしらなくても
合計時間=11.1111...(sec)
となるのは和の形を見ただけで目視でわかります。そしてまさにこの時刻に並びます。
いつまで経っても追いつかないという話ではなく、この思考法だと考えている時間の範囲が無限に続かず、有限の値に収束してしまうのです。

普通に解けば小学生の問題です。すでに前の方が回答されているように1秒間にアキレスは亀に1-0.1=0.9 mずつ近づくということから答えはでます。10mをこの数字(0.9m/sec)でわった秒数で追いつきます。
そう考えないのなら、
1.初めに亀のいたところまで10m/(1m/sec)=10secで行く。この時亀は0.1x10=1m進んでいる。
2.二回目に亀のいたところまで1m/(1m/sec)=1secで行く。この時亀は0.1x1=0.1m進んでいる。
3.三回目に亀のいたところまで0.1m/(1m/sec)=0.1secで行く。この時亀は0.1x0.1=0.01m進んでいる。
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仕事が遅い、頭悪い、力仕事できない
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居ないよりはずいぶんましだと思いますよ。

Q無限級数の和を求める問題で部分和の考え方につまづいています

質問したい数学の問題を
http://goukaku-ch.com/wp/wp-content/uploads/2016/01/mugen_bubunwa.pdf
にPDFでアップしました。

この上部の枠に囲まれた問題のうち、(1)はわかりますが(2)がわかりません。


問題のすぐ下の「指針」の(2)に、
「部分和S_(2n-1), S_(2n)はすぐにわかるが、S_nを1つの式に表すのは難しい」
とありますが、
S_n=S_(2n-1)+ S_(2n) と表すのは間違っているのでしょうか?
(「奇数番目の項の総和」+「偶数番目の項の総和」と考えました。)

そして、その2行目下の太字に、

「lim_n→∞ S_(2n-1)=lim_n→∞ S_(2n)=Sならばlim_n→∞ S_(n)=S」
とありますが、
lim_n→∞ S_(2n-1)=lim_n→∞ S_(2n)=Sならば
lim_n→∞ S_(n)=lim_n→∞ S_(2n-1)+lim_n→∞ S_(2n)=S+S=2S
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そしてその下の
「lim_n→∞ S_(2n-1)≠lim_n→∞ S_(2n)ならばS_(n)は収束しない」というのがなぜなのかわかりません。

≠のときでも2Sに収束するように思えてしまいます。
===
自分の考えでいくと(2)の答案部分で、
最終行から2行めは
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ではなく、lim_n→∞ S_(n)=1+1=2
と考えてしまいます。考え方のどこが間違っているのでしょうか?
+++++++++++++++++

<追加質問>
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「【注意】無限の場合は、無条件で項の順序を変えてはいけない」
とありますが、部分和が無限になるような無限級数とはたとえばどのようなものなのでしょうか?
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よろしくお願いします。

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S_n=S_(2n-1)+ S_(2n) と表すのは間違っているのでしょうか?
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そして、その2行目...続きを読む

Aベストアンサー

日本語の理解の問題です。

部分和Sη は有限であるから,項の順序を変えて和を求めてもよい。
図目 無限の場合は,無条件で項の順序を変えてはいけない。

の意味は、
たとえばシグマを使って和を表すときに

Σ
k=1

で、S_(n)


Σ
k=1

で、無限個の要素の和を表したとする。
下のような場合には、項の順序を勝手に変えてはいけない。
という意味です。

さらに、
収束の理解ですが、
S_(m)→S  (m→∞)

については、
mが大きくなれば部分和がSに近づくことを意味します。

ただし、数列の性質から部分和の表現が面倒なので
mが偶数の場合には部分和がSに近づく。
mが奇数の場合にも部分和がSに近づく。
この二つから、
mが偶数でも、奇数でもどちらの場合でもmが大きくなれば部分和がSに近づく。
したがって、mがどんな自然数でも、それが大きくなれば部分和がSに近づくことになります。
理由は、自然数には偶数と奇数しかないからです。

といっているのです。

Qこうゆう考えの人って頭悪いと思わないですか?

こうゆう考えの人って頭悪いと思わないですか?
CMとかで嫌いなタレント出てるからとかむかつくからという理由で商品買わない人
僕には理解出来ないですが何か?
商品なんて関係ないしあれですか?坊主にくけりゃ袈裟憎いって?
でも向こうもそうゆう考えもつ人にはかってもらいたくないからいいかなと思うけど

Aベストアンサー

なるほど、そういう考えもできますか!

広告というのは、その商品なりサービスが、一番いい方法で訴求できて、消費者に認知・浸透してアクションを起こしてもらうことが、最終的な目的ですよね。

そしてそのためには、(関係者のしがらみはともかくとして)それにマッチする、イメージを伝えられるに相応しいタレントを起用するのが普通です。
ですから、広告でそのタレントが出ることは、その商品なりサービスのイメージを背負っているということになります。

なので、質問者さまがおっしゃっている「タレントが嫌いだから商品を買わない」という人が出てきても、何らおかしくありません。
別に頭が悪いわけではありません。
よく、不祥事を起こしたタレントが出た時、そのタレントのCMを一斉に引き上げますね。それによって商品イメージが下がることを恐れてのことです。

Qアキレスと亀。

文系脳のバカです。
理系のお利口さんな友人に、アキレスと亀の話の解説を聞いたのですが、結局よく分かりませんでした。
つまるところ「考え方が間違ってる。そんなふうに考えちゃダメ!」っていう解説だった(と理解した)のですが、文系脳のバカな私にも理解できるよう、アキレスと亀の問題点の解説をしてもらえませんか?

お願いします。

Aベストアンサー

 お礼、ありがとうございます。#2,3です。

 アキレスと亀は、単純な速度差による算数計算をして『有限時間で追いつく』で最終的な答えです。その事実について、別の論法で追いつけないと主張しても、この簡単で明瞭な計算を否定できなければ、なんら有効性はありません。


 止めを刺すにはゼノンの論法通りでも追いつくとすることですが、単純化して亀の速度からアキレスの速度を引くといいでしょう。アキレス視点ならば、アキレスが静止と考えるという、物理学では基本の観方になります。この場合、静止したアキレスに対して亀が近づいてくる思考実験モデルになります。

 そうすると、#3で説明した問題と、ほぼ同じになります。違いは、目標地点の方が近づいてくるということですね。それでも、半分の距離、そのまた半分の距離という、ゼノンの論法は変わりません。

 これは、既に数学で解決されています。単純化のため、亀との距離を1としましょう(距離の単位なんて、なんでもいいですので)。

 亀は1/2まで近づき、これにかかる時間を1/2と揃えておきましょうか(時間の単位は何でもいいですので)。次は1/4、1/8となる無限回の繰り返しになります。

 公式は示しませんが、1/2+1/4+1/8+……=1であることは、たとえ無限個の数の和であっても、現在の数学が保証しています。なんのことはない、1の距離を行くのに、1の時間と、有限になってくれます。

 これは普通の算数での簡単明快な計算と何ら違いはありません。1/2の距離を行くのにかかる時間を1/2としたのですから、1の距離を行くには時間は1です。

 そう説明しても、ゼノンの肩を持ったつもりの人の中には、「しかし、無限回の行為なんてできないじゃないか」と言い募る人がいたりします。

 そういうときは、こう言うことにしています。「無限回に分割したのは、あなたじゃないか。終わらないのは、あなたの話だけだよ」。

 単純な物理学でも、似たような問題は日常茶飯事で解いています。たとえば、「落とした高さから半分の高さまで跳ね上がるボールを落としたらどうなるか?」なんてあります。

 もちろん、「跳ね上がり方が小さくなりながらも、永遠に跳ね続ける」なんてことにはなりません。有限の時間で静止します。それも、収束する無限級数の和ということで数学が保証してくれています(もっと物理学的には、『最小の時間』とか『最小の長さ』がありますが、割愛するのが通例)。

P.S.

「人間はナマケモノ(性格)である。」
「ナマケモノ(生物)は木の上に住んでいる。」
「故に、人間は木の上に住んでいる……とは限らないじゃないかあっ!」

といったところでしょうか。似たようなものでは、英語で有名なのは以下です(和訳すると切れ味が鈍る)。

Nothing is better than my wife.
A penny is better than nothing.
Therefore, a penny is better than my wife.

 似ているもので、日本語で大真面目に言っていた例では、ちょっと薄気味が悪かったです。9÷0=0なる、不可思議な割算を調べていた時に見かけました(そのときは気にならず、ブックマークしなかったのが悔やまれる)。

「数学では、0で割った答えは無い。」
「数学では、無いならば、0である。」
「ゆえに、数学では、0で割った答えは0である。」

 0で割った答えが0だと思っている人が設計した建物とか橋とかには近づきたくないです。

 命題が真なら対偶も真、を単純に自然言語に適用すると、おかしくなる例もあります。

命題「叱られ『ない』と、勉強し『ない』。」
対偶「勉強すると、叱られる。」

 これらは、無限大は絡みません。古代ギリシアでも反論可能だったでしょう。無限大だけは、まだ扱い方が研究されていなかったので、ゼノンの論法は長く残るパラドクスとなったようです。

 お礼、ありがとうございます。#2,3です。

 アキレスと亀は、単純な速度差による算数計算をして『有限時間で追いつく』で最終的な答えです。その事実について、別の論法で追いつけないと主張しても、この簡単で明瞭な計算を否定できなければ、なんら有効性はありません。


 止めを刺すにはゼノンの論法通りでも追いつくとすることですが、単純化して亀の速度からアキレスの速度を引くといいでしょう。アキレス視点ならば、アキレスが静止と考えるという、物理学では基本の観方になります。この場合、静止した...続きを読む

Qわざわざナイフからフォークに利き手を持ち替えないと食事出来ない人って、頭悪いの?躾がなってないの?

わざわざナイフからフォークに利き手を持ち替えないと食事出来ない人って、頭悪いの?躾がなってないの?



「俺、右利きだから」とかいう理由でフォークをいちいち右手に持ち替えないと食べられない育ちの悪いクソとは食事したくない。



右利きならナイフが右手、フォークが左手だろ。子どもでも知ってるわ。

それが出来ない成人とか脳腐ってるでしょ?


こんな腐った食事の仕方してる人って親に食事の仕方すら教わってないからこんな気持ち悪いことするんでしょうか?

それとも教わっても理解できないくらいに頭が悪いからなのか?

Aベストアンサー

私はオジサンです。
両親は2人とも地方出身です。イギリスではありません。日本です。
ナイフとフォークを使う食事なんて、した事がないし、必要もなく育ちました。
質問者様とは生きてる世界が違うようですね(笑)。
それとも、わざと炎上させるように挑発的に書いているのでしょうか?
質問者様は、カップ麺って、食べた事ないんでしょうね。
質問者様は、1日の食事代1000円未満なんて、経験ないんでしょうね。
世の中、あなたのような人ばかりではないのですよ。
自身の価値観だけで、相手を否定するのは、テーブルマナーより酷いマナーですよ。

Qアキレスと亀のパラドックス

ってありますよね。あれの正解(何が間違ってるのか)を平易な言葉で説明するとしたら、どうします?自分なら「アキレスが亀がいた地点に到達、亀が移動をずっと繰り返していけばいずれは亀が移動しないターンがくる」と言います。これより的確に説明できますか??



~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

アキレスは亀の後方から出発することにして、両者が同時に発走すると、アキレスは最初に亀のいた地点に到達する。しかしその時には亀はいくらか先んじている。次にその亀の地点にアキレスは到達する。しかしその時にもやはり亀はいくらか先んじている。以下同様に続き、このループから抜け出ることができない。よって、アキレスが亀に追い着くという場面は生じない。そのイメージは、



 A‥‥‥‥‥‥‥T‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(1)



 ‥‥‥‥‥‥‥‥A‥‥‥T‥‥‥‥‥‥‥‥‥(2)



 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥A‥T‥‥‥‥‥‥‥(3)



である。つまり、アキレスと亀の競走は(1),(2),(3),…と展開し、これら場面の系列は完結することがないので、アキレスは亀に追い着けない。

ってありますよね。あれの正解(何が間違ってるのか)を平易な言葉で説明するとしたら、どうします?自分なら「アキレスが亀がいた地点に到達、亀が移動をずっと繰り返していけばいずれは亀が移動しないターンがくる」と言います。これより的確に説明できますか??



~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

アキレスは亀の後方から出発することにして、両者が同時に発走すると、アキレスは最初に亀のいた地点に到達する。しかしその時には亀はいくらか先んじている。次にその亀の地点にアキレス...続きを読む

Aベストアンサー

答えは簡単。
追いつく前の話しかしていないのだから追いつかなくて当たり前です。
亀が元いた場所というのは、現在の亀の位置よりも後ろなのですから、アキレスが亀が元いた場所についた時というのは追いつく前のことであることは自明でしょう。
それをおさえたうえで、何故延々と追いつく前の話を続けられるのかを考えてみればよいと思います。その際には級数や極限の話も参考になってくると思います。

Q30代なかばで派遣してます。頭悪いし、毎日サービス残業してもいいんだけど、あまり夜遅くまですると寝坊

30代なかばで派遣してます。頭悪いし、毎日サービス残業してもいいんだけど、あまり夜遅くまですると寝坊してしまうし、このまま派遣続けようかと考えてます。こんな人生もありですかねぇ?子供好きだけど、子孫も残さないつもりです。

Aベストアンサー

将来的な計画などを考えても、自分で良しと思えるならありだと思います。

ただ、生涯賃金にして二倍以上の差がつくと言われている非正規と正規では
老後の生活や、中年を過ぎる辺りからの生活に差が出てきます。
周囲との比較というのは自分で気を向ける以上に気になるものです。

また、実生活面でも万が一のことがあった場合など
様々な場面で不利な状況に立たされる可能性も考えるべきです。

そういった点から、生涯派遣労働というのは
今の社会、制度の状態ではお勧めしたいとは思えません。
ただ、正規労働よりもストレスが少ない場合があることも確かです。
ライフスタイルやワークスタイルは個人が選んでよいものですから
そういったリスクを考えてもなお、自分に合っている
もしくは、そういったスタイルが良いと思うのであれば
一つの生き方だと思います。

Qアキレスと亀の競争について。

ずっと以前、アキレスと亀の競争について読んだことがあります。
「アキレスは自分の前方からスタートした亀を絶対に追いぬくことは
できない。」と言うものだったと思います。しかしこの命題をある
数学的テクニックで論破できるとなにかで読んだ事を急に思い出しました。いったいどんなものなのか?どなたかお分かりになる方
教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

有名なツェノン(ゼノン)のパラドックスですね。
アキレスと亀と逆の理論で、飛ぶ矢は飛ばずという物もあります。
無限の回数と無限の時間のすり替えによるウソなんですけど…
回答1の方のURLの話で「論破」になるのかは疑問です。
「誤りの指摘」にはなりますけど。


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