複素関数f(z)=√zの分岐点がなぜ(0,0)?

宜しくお願い致します。

f(z)=√zという複素関数についての質問です。


(0,0) のみが分岐点で，f(z,w)=w^2-z とおくと，非分岐点ではf_w≠0
らしいのですが

分岐点の定義は
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%BB%E5%80%A4
で記載されてるようにkの値のようなのです。

原点(0,0)がf(z)=√zの分岐点であるとはどのように解釈すればいいのでしょうか?

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/02/18 09:44

分岐点って、多値関数の「多値」が分岐し始める点ですよね？

f(z)=√z　は √ は偏角を半分にすると解釈すると
z≠0 では2パターンの値を持つので、分岐点は 0

この回答へのお礼

有難うございます。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%BB%E5%80%A4
では
…,ln|z|+i(arg(z)+2(-1)π),ln|z|+i(arg(z)+2・1π),
ln|z|+i(arg(z)+2・0π),ln|z|+i(arg(z)+2・1π),ln|z|+i(arg(z)+2・2π),…
らを分岐点と呼び,整数kのことを分岐点というわけではないのですね?

お礼日時：2014/02/21 03:51

No.2 回答者： noname2727 回答日時： 2014/02/18 10:44

分岐点てその点を中心とする円を一周したときに枝が入れ替わる点のことですよね

原点の周りを一周したとき枝が入れ替わるので原点は分岐点となります。

この回答へのお礼

有難うございます。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%BB%E5%80%A4
では
…,ln|z|+i(arg(z)+2(-1)π),ln|z|+i(arg(z)+2・1π),
ln|z|+i(arg(z)+2・0π),ln|z|+i(arg(z)+2・1π),ln|z|+i(arg(z)+2・2π),…
らを分岐点と呼び,整数kのことを分岐点というわけではないのですね?

お礼日時：2014/02/21 03:51

No.3 回答者： noname2727 回答日時： 2014/02/21 10:15

No2補足を見て

それらが分岐点の定義として用いることはないです。

結果として、それらが分岐点になるのかもしれませんが、そのような事実は私は見たことのないのでよくわからないです。

wikiをあまり鵜呑みにして考えない方がよろしいかと思います。（間違いが多々ありますので）

この回答への補足

あと,f(z)=√zの時,f(z-1)の分岐点は1となりのですね。

さらに各関数に分岐点は一つしか存在しないのですね(2つある場合とか無いですよね?)。

補足日時：2014/02/22 02:15

この回答へのお礼

有難うございます。

そうしますと,対数関数についても
分岐点は原点z=0で
…,ln|z|+i(arg(z)+2(-1)π),ln|z|+i(arg(z)+2・1π),
ln|z|+i(arg(z)+2・0π),ln|z|+i(arg(z)+2・1π),ln|z|+i(arg(z)+2・2π),…
が分岐となるのですね。

お礼日時：2014/02/22 00:24

No.4 回答者： noname2727 回答日時： 2014/02/22 10:44

分岐点が２つ・３つと存在する関数はいくらでもあります。

この回答へのお礼

> 分岐点が２つ・３つと存在する関数はいくらでもあります。

そうだったのですか。
探してみたのですが例が見つかりません。

参考にため是非, 分岐点が2個,n個,可算個の例をご紹介いただけましたら大変幸いでございます。m(_ _)m

お礼日時：2014/02/24 07:14

No.5 回答者： noname2727 回答日時： 2014/02/24 09:48

f（z）＝√z　√（１-z）

ではz＝0、1で分岐してますね

No.6 回答者： noname2727 回答日時： 2014/02/24 14:23

f（z）＝√zも実は原点以外に分岐点をもつのです。

無限遠点において分岐します。

No.7 回答者： noname2727 回答日時： 2014/02/24 19:39

他にも

f（z）＝√（z＾2+1）

は±iで分岐します

√がでてきたら、（√の中）＝0の点が分岐点となります。


実数xに対して考えたとき、平方根は±√xの2つあります。

平方根を取るというということで2価関数を考えるのですが、√x＞0とすることで√xというものを1価関数として扱えるようにしんです

つまり、√をとる作業っていうのは、１価関数１つ選ぶ作業のことなのです。

このとき、x＝0において、この関数は√xと-√xに分岐するので、その点のことを分岐点と呼びます。

この回答へのお礼

有難うございます。
大変参考になってます。


実関数y=±√xのお話が興味深いです。

> x＝0において、この関数は√xと-√xに分岐するの

"x=0において"というのは言葉を変えれば"x=0を起点として"という意味なのでしょうか?

お礼日時：2014/03/09 09:20

No.8 回答者： noname2727 回答日時： 2014/03/12 22:23

起点がどういう点であるかがよくわからないので、そういう表現が正しいかは分かりません。

本末転倒かと思いますが、x=0で分岐するという表現が正しいかと思います