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次の命題を考えます
n^2が偶数⇒nは偶数
「これを証明するために背理法を用いてこの命題の否定であるn^2が偶数∧nは奇数が真であると仮定して、
矛盾を導く。
今、nは奇数なのであるkが存在して2k+1と表せる。(2k+1)^2=2(2k^2+2k)+1より、n^2は奇数。
よってn^2が偶数∧nは奇数のn^2が偶数という条件と矛盾。
よって命題はただしい。(方針はこれでお願いします)」
ここで、n=2のとき、上同様に証明してみるとおかしなことに命題の否定が真になってしまいます。
2^2が偶数⇒2は偶数を証明するためにこの命題の否定である2^2が偶数∧2は奇数が真であると仮定して、2が奇数なので2^2=4より偶数よって2^2が偶数∧2は奇数はしんになり、2^2が偶数⇒2は偶数は偽になる(?)
これはどこがいけないのでしょうか。
一般のnが証明できたからn=2の時も成り立つのではないのでしょうか。
よろしくお願いします。
No.6
- 回答日時:
「背理法」が何かというのは「証明」そのものの根幹にかかわるので微妙だったりします>#4.
ちなみに
2^2が偶数⇒2は偶数を証明するためにこの命題の否定である2^2が偶数∧2は奇数が真であると仮定して、2が奇数なので2^2=4より偶数よって2^2が偶数∧2は奇数はしんになり、2^2が偶数⇒2は偶数は偽になる(?)
自体は... えっと, 「2が奇数なので2^2=4より偶数」が意味不明かな.
・「なので」がどこから出てくるのか不明
・「何が」偶数だといっているのかが分からない
というあたり. 最初と最後だけをつなげば, より正確には
「2^2が偶数」∧「2は奇数」を仮定すると「2^2が偶数⇒2は偶数は偽」が導ける
という点においてどこも間違ったところはありません.
この回答への補足
>「2^2が偶数」∧「2は奇数」を仮定すると「2^2が偶数⇒2は偶数は偽」が導ける
確かに導けますが、背理法は命題の仮定から矛盾を導かなければならないのに、これじゃあおかしくないでしょうか。
あともう一つなんですが、前回の質問で、偽の仮定をしたら、どんな命題も証明できてしまうとおっしゃっていましたが、確かに真理表を見ればp⇒qの命題はpが偽であればqは何であれ命題はしんになります。
ならば背理法という証明方法自体、偽の命題を仮定している時点で絶対矛盾が生じることはないのではないでしょうか
何回もすみません・・・
どうかよろしくお願いします
No.5
- 回答日時:
#3です。
ちなみに…
質問者さまが背理法で証明しようとしたときのkは、整数でなければなりません。
ただn=2の場合は、そもそもkは整数ではあり得ません。
ただしここで(n=2にするために)強引にk=0.5とした場合、式に代入したらちゃんとn^2=4となりますよ。
ちゃんと計算しましたか?
つまり命題はちゃんと証明できてます。
質問者さまの言われる矛盾は、勝手にkの解釈を変えたからです。
No.4
- 回答日時:
>n^2が偶数⇒nは偶数
>「これを証明するために背理法を用いて
>この命題の否定であるn^2が偶数∧nは奇数が真であると仮定して、
3行目の中ほどにある「偶数∧」の「∧」の意味がわかりません。
なお、背理法というのは、命題を否定するのではなく、
結論(今回の場合は「nは偶数」)を否定(つまりnは奇数とする)して
議論を進めていくと、正しいとされているはずの前提(今回の場合は「n^2は偶数」)
との間に矛盾が起きることを示して、
元の命題が真であることを証明する、という手法です。
No.2
- 回答日時:
>2^2が偶数⇒2は偶数を証明するためにこの命題の否定である2^2が偶数∧2は奇数が真であると仮定して、
の「2^2が偶数∧2は奇数」は偽なので、これを「仮定」したら、あらゆる命題が証明できてしまいます。
もとの論旨は、
「AかつBを仮定して、¬Aが示せるのでAかつ¬Aであるから矛盾」としていますが、
「2^2が偶数∧2は奇数」を「AかつB」とすると、前提(偶数奇数の定義)から¬Bが示せています。
つまり「AかつBを仮定して、¬Bが示せるのでBかつ¬Bであるから矛盾」となっています。
いや、もちろん、手間暇かければ「どんな命題でも証明できる」ので、
「AかつBを仮定して」、一旦「¬Bが示せるの」で「Bかつ¬Bであるから矛盾」を経由して「¬A」を証明することもできるのでしょうけど無意味に感じます。
この回答への補足
nとおくと、奇数か偶数かがわからないから2k+1から矛盾を証明できましたが、n=2の場合、2は偶数ということからBかつ(Bでない)が導かれる、ということですか?つまり、nとn=2では証明方法が違うということですか?
補足日時:2014/04/23 08:29お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
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