収束値の問題です

Π[n=2...∞] {1-(1/k^2)}の収束値を求めたいのですができません。
ヒントでもいいので教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2014/05/20 05:59

Z=Π[n=2...∞][1-(1/n^2)]

=lim(n→∞)Π[k=2...n](k^2-1)/k^2

=lim(n→∞)Π[k=2...n](k+1)(k-1)/k^2

=lim(n→∞)Π[k=2...n][(k+1)/k]*[(k-1)/k]

=lim(n→∞)Pn*Qn

Pn=Π[k=2...n][(k+1)/k]

Qn=Π[k=2...n][(k-1)/k]

Pn=(3/2)(4/3)(5/4)....(n+1/n)=(n+1)/2

Qn=(1/2)(2/3)(3/4)....(n-1/n)=1/n

Z=Π[n=2...∞][1-(1/n^2)]=lim(n→∞)Pn*Qn=lim(n→∞)[(n+1)/2]*[1/n]

=lim(n→∞)[(n+1)/n]/2=1/2

No.1 回答者： gomagoma427 回答日時： 2014/05/20 02:29

最初に断っておきますと、数学を勉強していたのはもう何年も昔のことで、厳密な議論など間違っているかもしれません。

思いつきで回答しますので、あくまで一緒に考えた案という感じで再考ください。

1-(1/k^2)　= (k^2 - 1)/k^2 = (k-1)(k+1)/k^2

です。具体的な数字を当てはめていくと

(1x3/2^2) (2x4/3^2) (3x5/4^2) (4x6/5^2) ...

= (1/2) {(3/2) (2x4/3^2) (3/4) } {(5/4)......}.......

のように区切っていきます。すみません見づらいのでイメージがつきにくいかもしれません。

文字にすると

(1/2) Π[n=2...∞] {(k+1)/k} {k(k+2)/(k+1)^2} {(k+1)/(k+2)}

と書きなおしています。具体的な数字を入れて見て一致することを確認してください。

しかしかけてあるものは、それぞれ分子・分母打ち消しあって１になります。
１をいくらかけても１ですので、よってこの値は　１/２　です。

正直無限を扱った議論に関して記憶と自信があまりありませんので、あっているかわからないです・・・。

この回答へのお礼

なるほど・・・
回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/05/27 00:53