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表面積一定の直方体の体積が最大にとなる
条件について考えてます。
横をx 縦をy 高さをz
とおくときx=y=zとなることは直感でわかるのですが
これを証明するにはどうしたらいいのでしょうか?

もしくわこの証明が載ってるHPなどありましたら紹介
していただけると嬉しいです。
どうか宜しくお願いいたします。

A 回答 (1件)

 直方体の表面積は,


  2(xy + yz + zx)
です。一方,体積は,
  xyz
です。ここで,相加・相乗平均の関係
  a + b + c ≧ 3・(abc)^(1 / 3)
を使うと,
  2(xy + yz + zx) ≧ 6・(xyz)^(2 / 3)
等号成立は x = y = z です。ここで,左辺が一定 S という条件を使えば,
  S / 6 ≧ (xyz)^(2 / 3)
両辺を 2 分の 3 乗すれば,
  (S / 6)^(3 / 2) ≧ xyz
等号成立条件は変わりませんから,体積 xyz は,x = y = z で最大になります。

この回答への補足

2(xy + yz + zx) ≧ 6・(xyz)^(2 / 3)
この式で左辺はxy+yz+zx これが常識で言うと
xy=a yz=b zx=cに対応すわけですが右辺では
この対応とは違いますよね?
x=a y=b Z-cと対応されてます。
これでもいいのでしょうか?
あほらしい質問でごめんなさいm(_ _)m

補足日時:2004/05/19 23:15
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この回答へのお礼

すいません。ただx+y+z
を2乗したんですね。
こんなに詳しく解説していただきありがとうございました。感謝の念でいっぱいです^^

お礼日時:2004/05/19 23:24

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