3次関数の最大・最小について

添付写真の266、(2)です。
(1)は解けて、答えはx=-2aで極大値4a^3+b、x=0で極小値bとなりました。

そこで、(2)で-2≦x≦1の区間も加えた増減表を書いた結果、
x=-2でf(x)=12a+b-8
x=-2aでf(x)=4a^3+b
x=0でf(x)=b
x=1でf(x)=3a+b+1
となりました。
しかし、どこを最大最小と決めて良いのか分かりません。

それ以前の問題があればご指摘お願いします。

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2014/06/28 21:43

グラフを見ながら考えてください。

-2≦x≦1における

1)最大値の候補はf(-2a)=4a^3+bおよびf(1)=1+3a+bです。従って場合分けが必要です。

a)4a^3+b>1+3a+bのとき、最大値は4a^3+bです。このとき

4a^3-3a-1>0

左辺が因数分解できて

4a^3-3a-1=(a-1)(2a+1)^2>0

0<a<1より(2a+1)^2>0,(a-1)<0

よってこれは成り立たない。従って最大値はf(1)=1+3a+b、これが1なので

3a+b=0 (1)


2)最小値の候補はf(0)=bおよびf(-2)=-8+12a+b

a) b<-8+12a+bのとき最小値はb,このとき

12a>8,

a>2/3、これは0<a<1を考えて2/3<a<1の時成り立つ。この最小値が-5,つまり

b=-5 (2)

(1)、(2)を組み合わせてa=5/3,これは2/3<a<1に反する。よってこの場合は該当しない。

b) b>-8+12a+bのとき最小値は-8+12a+b,

このときa<2/3,0<a<1を考えて0<a<2/3の時成り立つ,この最小値が-5,つまり

-8+12a+b=-5

12a+b=3 (3)


(1)、(3)を組み合わせてa=1/3,これは0<a<2/3を満たす。このときb=-1

この回答へのお礼

とても分かりやすかったです！ありがとうございました！

お礼日時：2014/06/29 10:28