合成数

合成数とは、自然数で、1とその数自身以外の約数を持つ数である。

「合成数が、二つ以上の素数の積で表される。」という証明を教えていただきたいです。

ある合成数Nがあったとすると、
N＝
(1)素数×素数
(2)素数×合成数
(3)合成数×合成数
の３通りがあると思います。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/08/01 15:54

ANO3です。

修正

>2以上nまでの数は全て素因数分解できるとすると、
2以上n以下の数は全て素因数分解できるとすると、

>n=2 で成り立つので、n以上の全ての整数で成り立ちます。
n=2 で成り立つので、2以上の全ての整数で成り立ちます。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/08/01 15:51

2以上nまでの数は全て素因数分解できるとすると、

n+1 が素数なら単独の素数に分解できます。
n+1 が素数でないなら n+1 = ab で n > a, n > b だから
a, b は素因数分解できます。従って n+1も素因数分解できます。

n=2 で成り立つので、n以上の全ての整数で成り立ちます。

No.2 回答者： lx002PH 回答日時： 2014/08/01 11:57

あちらにも書きましたが、合成数cは少なくともひとつの素因数pを持つことが証明できます。

だから帰納法を使えば次のように示されます。
4=2^2より4は素数の積で表すことができる。
合成数cについてk＜cなる1より大きい自然数kは素数の積で表すことができるとする(素数はそれ自身をそう見なす)。cは少なくともひとつの素因数pを持つので、c=pNとおくと、Nは1より大きくcより小さな自然数である。よって、帰納法の仮定により素数の積で表すことができる。それにpを掛けたものはcを素数の積で表したものになるから、合成数は二つ以上の素数の積で表すことができる。

No.1 回答者： B-juggler 回答日時： 2014/08/01 02:44

こっちにもお邪魔(o｀・ω・)ゞデシ!!

難しくやりすぎてます。

合成数は素数の積なんですから、（３）合成数×合成数　⇔　複数の素数の積

でしかないので、（１）、（２）、（３）は同じことですよ。

素数でない数　⇔　合成数　⇔　素因数分解できる　⇔　「２つ以上の素数の積」

証明するようなことじゃないと思うけれども。

これはいらないだろうけれど

　例）１３＋１　を考えます　１３＋１＝１４だね

１４は　１、１４以外に約数を持ちますね。

１４＝１×２×７　ですね（今素因数分解をしましたね）。

２と７は素数ですね。　二つの素数の積で現されましたね。

難しく考えない、落ち着いて、ゆっくりでいいからシンプルに。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)