同じ文字が連続して出る確率

確率の問題を考えているのですが、詰まってしまい、お力を貸して頂けないでしょうか？
以下の画像に問題、答案をまとめております。
http://upup.bz/j/my21519QoPYtMGtPKgqIhNk.jpg

【質問内容】
[問題1] この答案で合っているかの確認 (問題2の下準備)
[問題2] さすがに全部0というアッサリした答えにはならない気がするのですが、
どう考えれば良かったのでしょうか？

No.6 回答者： quaestio 回答日時： 2014/08/16 10:53

#5訂正

gではなくてqでしたね。
失礼しました。

No.5 回答者： quaestio 回答日時： 2014/08/16 09:48

[問題2]

z(i) = 1のとき最後の数字は1なので、z(i+1) = 1となるには、次の数字が1となるか、01を0回以上繰り返して011とならないといけません。
z(i) = 0のとき最後の数字は0なので、z(i+1) = 1となるには、10を0回以上繰り返して11とならないといけません。
よって、
g(i+1) = g(i)*p + g(i)*(01を0回以上繰り返して011となる確率) + (1-g(i))*(10を0回以上繰り返して11となる確率)
となるので、この漸化式を解いて、極限をとればいい。

01を0回以上繰り返して011となる確率と10を0回以上繰り返して11となる確率は、問題1の結果から計算できますよね？

No.4 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/08/16 08:07

[問題2]について

[問題1]の結果を使うので再掲すると
＞k=0の時はx0=x1=1となる確率だからp^2
1≦kの時はxk=1かつx(k+1)=1の確率がp^2・・・・・(1)
x0からx(k-1)まで0と1が交互に並び、かつx(k-1)=0となる確率は
(ア)k-1=2m(m=0,1,2,3,・・・)の場合はp^m*(1-p)^(m+1)だから
k=2m+1(奇数)の場合の確率は(1)を掛けてp^{(k+3)/2}*(1-p)^{(k+1)/2}
(イ)k-1=2m+1の場合はp^(m+1)*(1-p)^(m+1)だから
k=2m+2(偶数)の場合の確率は(1)を掛けてp^{(k+4)/2}*(1-p)^(k/2)
以上から
kが奇数の場合の確率はp^{(k+3)/2}*(1-p)^{(k+1)/2}・・・・・・答
kが偶数(0を含む)の場合の確率はp^{(k+4)/2}*(1-p)^(k/2)・・・答
[問題2]
＞[問題1]の答をP(k)とする。
i≠0のときはi番目のxj=x(j+1)からzi=x(j+1)としているので、
(i+1)番目は、k≧1としてx(j+k)=x(j+k+1)からz(i+1)=x(j+k+1)
となり、このkはxjを[問題1]のx0と考えた場合に最初にxk=x(k+1)
となるkになる。
従ってzi=x(j+1)=1となる確率がqiだからq(i+1)はqi*P(k)となり、
漸化式q(i+1)=qi*P(k)が得られる。
よって
qi=q(i-1)P(k)=q(i-2)P(k)^2=q(i-3)P(k)^3=・・・・・=q1P(k)^(i-1)
0≦q1,P(k)≦1だからlim[i→∞]qi=lim[i→∞]q1P(k)^(i-1)=0・・・答

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2014/08/15 07:56

問題1：

まずは簡単な検算のやりかたを用意しておくといいんじゃないかな。すなわち、どんな列sであれ、その0と1を全部逆にした列s'を作ると、sにおけるkとs'におけるkは同じ。だから、
● p=1/2の場合、xk=1となる確率はxk=0となる確率と同じになる筈。つまり、どっちも1/2になる。

すると、答案が間違っているのは明らかでしょ。

No.2 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/08/14 22:31

取り敢えず[問題1]

＞k=0の時はx0=x1=1となる確率だからp^2
1≦kの時はxk=1かつx(k+1)=1の確率がp^2・・・・・(1)
x0からx(k-1)まで0と1が交互に並び、かつx(k-1)=0となる確率は
(ア)k-1=2m(m=0,1,2,3,・・・)の場合はp^m*(1-p)^(m+1)だから
k=2m+1(奇数)の場合の確率は(1)を掛けてp^{(k+3)/2}*(1-p)^{(k+1)/2}
(イ)k-1=2m+1の場合はp^(m+1)*(1-p)^(m+1)だから
k=2m+2(偶数)の場合の確率は(1)を掛けてp^{(k+4)/2}*(1-p)^(k/2)
以上から
kが奇数の場合の確率はp^{(k+3)/2}*(1-p)^{(k+1)/2}・・・・・・答
kが偶数(0を含む)の場合の確率はp^{(k+4)/2}*(1-p)^(k/2)・・・答

No.1 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/08/14 16:13

[問題1]の参考

x(k-1)は0でなければならない。