No.2ベストアンサー
- 回答日時:
アはOPの長さでしょうね。
点Aの座標より|OA|^2=3^3+(3√3)^2
=9+27
よって|OA|=6
イ、ウはΘ=π/6をp、qの式に代入するだけです。
エ、オは加法定理を使います。
p=sinΘ+√3cosΘ
=2*(sinΘ/2+√3cosΘ/2)
ここでcos(π/3)=1/2、sin(π/3)=√3/2なので、
p=2*(sinΘ/2+√3cosΘ/2)=2sin(Θ+π/3)
カは単に計算。
|OP|^2=p^2+q^2
=(sinΘ)^2+2√3sinΘcosΘ+3(cosΘ)^2
+3(sinΘ)^2-2√3sinΘcosΘ+(cosΘ)^2
=(1+3)((sinΘ)^2+(cosΘ)^2)=4
よって|OP|=2
|OP|は定数値2をとるので点PはOを中心とする半径2の円周上
にある
(3)
APの長さが最大になるのは、点Aと点Pが点Oを挟んでちょうど反対側
にあるときです。言い換えると、点Pは
(あ)直線OA上にあり、かつOを中心とする半径2の円周上にある
(い)(あ)を満たす二つの解のうち、第三象限にある方
ということです。
直線OAの式はy=-√3xと表すことができ、点Pの軌跡は上記のカ、キより
x^2+y^2=4
で与えられるので、これにy=-√3xを代入して
x^2+3x^2=4
x^2=1
x=±1
y=±√3 (復号は逆順)
よって上記の(あ)、(い)をともに満たすのはx=1、y=ー√3
よって求める点Pの座標は(1、-√3)。
因みにもう一つの解(-1、√3)はAPの最小値を与えます。
エ、オより点Pのx座標は2sin(Θ+π/3)なので
2sin(Θ+π/3)=1
sin(Θ+π/3)=1/2
これを解いてΘを求めて下さい。
またこのときAPの長さはOAの長さ+OPの長さなので
6+2=8
(4)
∠AOPが直角ということは、ベクトルOAとベクトルOPの内積が
ゼロになるということなので、点Pの座標を(x、y)とすると
-3x+3√3y=0
y=√3x/3
また、点Pは原点を中心とする半径2の円周上にあるので
x^2+y^2=4 であり、これにy=√3x/3 を代入して
x^2+x^2/3=4
4x^2/3=4
x^2=3
x=±√3、y=±1 (複合同順)
(3)と同様に
2sin(Θ+π/3)=±√3
sin(Θ+π/3)=±√3/2
これを解いてΘを求めて下さい。
No.1
- 回答日時:
問題文が読めません。
補足にでも書き込んで下さい。この回答への補足
Oを中心とする座標平面上に定点A(-3,3√3)
動点P(p,q)があり、p=sinθ+√3、q=-√3sinθ+cosθ(0≦θ<2π)である。
(1)線分OA= ア でありθ=π/6のとき点P(イ、ウ)である。
(2)p=エsin(θ+π/オ)と変形でき、
またOP=カよりPはOを中心とした半径キの円周上にある
(3)線分APの長さが最大になるときのθの値、およびAPの長さを求めよ。
(4)角AOP=90°になるときのθの値を求めよ。
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