4次元、５次元について

前にどこかで、

１次元(線)の断面は０次元(点)
２次元(面)の断面は１次元
３次元(立体)の断面は２次元

という文を読んだのですが、４次元の断面は３次元でいいんですか？
また、５次元の断面も４次元ですか？
じゃあ写真は何次元の断面ですか？

No.8 回答者： foomufoomu 回答日時： 2014/09/09 20:52

2番回答の説明がうまかったので、数時間の間、洗脳されてしまってましたが (^_^;

「断面」という書き方なので、間違えたり、迷ったりするのです。
質問者さんが読んだ本で言っている「断面」は、「切断面」の事です。（そうでないと、常に1次元下にならないし、普通、多次元の幾何学で「断面」というと、そういう意味になる。）

そう考えると、何もかもが、はっきりします。

No.7 回答者： Dio_Genes 回答日時： 2014/09/09 19:38

「断面」は定義次第の面があります。

投影とか射影と呼ぶこともあります。

　最も広く考えると、n次元の物体は、n次元以下の断面を持てます。物体そのものが断面と考えるわけです。3次元の物体なら、3次元、2次元、1次元、0次元の断面を持てます。

　なお、3次元以上の断面を超断面と呼ぶことがあります。4次元の断面も超断面です。

　よく行われる断面を取る操作では、n次元の物体の断面は、n-1次元以下になります。

　狭義の断面には2種類あります。2次元に写し取ると考える場合は、断面は常に2次元ですが、曲線になるときは1次元、点になるなら0次元とすることがあります。まとめて扱うなら、2次元以下ということになります。

　もう一つは、n次元の物体をn-1次元に写し取ったものを断面と考える場合です。物体が4次元以上なら、断面は3次元以上となり、超断面と呼ぶことが多いです。

　以上を踏まえまして、お示しの例を見てみます。

>１次元(線)の断面は０次元(点)
>２次元(面)の断面は１次元
>３次元(立体)の断面は２次元

　これを見る限り、物体の断面は物体の次元より1つだけ少ない次元になっています。ですので、

>４次元の断面は３次元でいいんですか？
>また、５次元の断面も４次元ですか？

というのは正しく、「ご明察、その通り」ということになります。

>じゃあ写真は何次元の断面ですか？

　この世界の普通の写真に限定します（X線写真はどうか、立体視写真はどうか、4次元以上がどうか、と考えだすとキリがないので）。簡単なようで難しい問いです。実は2通りの答になります。

　写真が3次元の物体を2次元に写し取ると考えると、3次元の断面です。しかし、3次元の表面（2次元）を写し取ると考えると、2次元の断面です。どちらとするかは、写真が何を写し取っているかについての考え方次第ですので、どちらとも決められません。

　逆にいえば、どちらなのかと問うのではなく、自分で定義すればよいということになります。

No.6 回答者： doc_somday 回答日時： 2014/09/09 18:24

大変失礼な事をいたしますが、お許し下さい、ここで最後に書いた事だけが重要です。

#１(３,５)様、揺らがれましたね、私は安いＲＰＧゲームの中ボスの様にケラケラ笑いました。
＃１のお答えがあまりに簡潔だったので、レベルを疑ったのです。

もちろん、#２のお答を引っ込める積もりはありません、それはそれで必死に考えた結論です。
数学は得手ではないので、高次空間の幾何学など知りませんが、一応元研究者ですので「疑う」のが使命です。

#１様が厳密で、数学的な常識で論じて下されば、非常に有り難いです。
ただ私が#１様に同意してもそれは「正解では無い」かも知れません。

なぜなら、御存知の通り、自己整合的な「世界」は存在する事も、そこの中だけで通用する「定義」に立脚する議論も「許される」からです。

ここからが、ご質問者への「本当の」答えです。
ご質問者が用いられた「断面」の「定義」はいかなる物なのか、厳密に補足して下さい。

No.5 回答者： foomufoomu 回答日時： 2014/09/08 20:30

No.3は取り消して、やはり断面は常に元の物体の１次元下の図形です。

幾何学で「断面」といった場合、図形を２つに切った、切り口を言うのであって、３次元図形に針を刺したようなものは「断面」とは言いません。

それから、断面に「面」の字が含まれているから、常に２次元というのは、数学の常識を知らない人の考えです。

「４次元、５次元はわからない」というのも、同じく常識を知らないだけです。直接見ることはできませんが、それらの図形の性質は、行列を使った数式などから知ることができます。

No.4 回答者： risugumino#1 回答日時： 2014/09/08 15:26

４次元の「断面」はやはり二次元でしょうね。

断面とは面ですから切り取った面を指します。
4次元を3次元（立体）的に切り取るという手段を3次元世界の住人である人間には想像すら出来ません。

1次元には面という概念自体が存在しませんし、2次元は平面世界ですからそれに直交するという軸が存在しません。
1次元や2次元を断面として切れるとすればそれは3次元世界にあると言えます。
単に図形上の次元と世界の次元は異なります。
これは単に図形の次元を説明する為の例なのでしょう。

だから１次元や２次元の「断面」と言う表記自体がおかしいんだろうと思います。
４次元も５次元もやはり断面なら二次元でしょうね。

写真は三次元の二次元投影です。
左右、上下、奥行きの奥行きを平面化した物だと言えるでしょう。

4次元、5次元などの高次の世界に関しては3次元世界の住人である人間には想像する事も出来ません。

No.3 回答者： foomufoomu 回答日時： 2014/09/08 13:35

ああ、たしかに「断面」が、必ず１つ下の次元とは限らないですね。

次元の話で「断面」が登場するのは、
# もしも2次元の世界に、3次元の物体が登場したら、どう見えるか？
# それは、3次元物体のうち、2次元世界に接触している部分＝断面
# だけが見えることになる。
という話が有名なので、これの事だとすると、
「観測者の存在する次元の部分が見える」
になりますし、No.2回答のように考えれば、
「切断に使った面の次元に依存する」
になりますね。

なお、断面の定義は、普通「2次元の面に限定する」とは考えないものです。3次元の断面は拡張定義ではなく、普通に断面の定義です。
また、断面は、普通、連続した領域を言います。ただし平らなものでなく、歪んだものでもよいです。

No.2 回答者： doc_somday 回答日時： 2014/09/07 22:14

私は＃１のお答えに同意できません。

それは「断面」の定義にあります。
例えば三次元の存在に一次元の線を通すと(直線でも、曲線でも構わない)当然「一次元断面」が生じます。
一次元断面は「面」ではないから「定義」違反だとすることも可能です。
だが、四次元以上の存在は「二次元」の「面」で切ることが可能です、高次元の存在はより低次元の「面」で切る事が可能です。
この際「面」の定義が拡張されています、三次元の面という概念も導入可能です。
いずれにせよ高次元の存在を二次元の連続した面で切れば、二次元の「断面」を得ることが出来ます。
なお私は数学者ではないので、上記の「連続した面」でなければならないか否か判断出来ません、あくまで考え方を示しただけだとお考えください。

No.1 回答者： foomufoomu 回答日時： 2014/09/07 17:40

＞４次元の断面は３次元でいいんですか？

＞また、５次元の断面も４次元ですか？
そうです。

＞じゃあ写真は何次元の断面ですか？
断面だけが次元ではありません。質問文の内容は、次元の説明のひとつの例です。
たとえば、3次元物体の表面は2次元ですし、2次元の物体が面と直角方向に動いた軌跡は3次元です。

写真は、紙という3次元の物体の表面（2次元）に書かれた模様です。写っているものが何次元かは無関係です。