座標の回転

ｘ，ｙ座標で表されるある点を反時計回りにα°回転したX、Y座標に変換しました。
かつてこのサイトで教えていただいたとおり
（ｘ、ｙ）＝（ｒｃｏｓθ，ｒｓｉｎθ）とおき，αだけ回転した座標なので
（Ｘ，Ｙ）＝（ｒｃｏｓ（θ＋α），ｒｓｉｎ（θ＋α））
加法定理を使って
Ｘ＝ｘｃｏｓα－ｙｓｉｎα
Ｙ＝ｘｓｉｎα＋ｙｃｏｓα
と計算しました。
ところが，ある本に同様の計算がついていたのですが，
Ｘ＝ｘｃｏｓα＋ｙｓｉｎα
Ｙ＝－ｘｓｉｎα＋ｙｃｏｓα
となっており正負が異なります。（私と同じように反時計回りの回転）

　私の計算が違っているのでしょうか。それとも何かの仮定が異なっているのでしょうか。
（ちなみにある本は作図により上記の結果を求めています。）

　分かりにくいかもしれませんが，適切な指摘をお願いいたします。

No.8 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/09/23 17:05

例えば x, y 座標系で (rcosα, rsinα)の点を反時計回りに角度β

回転させると、角度の加法定理から

(rcos(α+β), rsin(α+β)) = (r(cosαcosβ-sinαsinβ), r(sinαcosβ+sinαcosβ))

元の座標位置を (a, b) = (rcosα, rsinα) とすれば

(r(cosαcosβ-sinαsinβ), r(sinαcosβ+sinαcosβ)) = cosβa - sinβb, sinβa + cosβb

これがいわゆる回転変換。

座標軸の回転では XY座標の左回転に対して、点は右に回転するから、角度の符号を反転すればよい

(cos(-β)a - sin(-β)b, sin(-β)a + cos(-β)b) = (cosβa + sinβb, -sinβa + cosβb)

これが回転の座標変換の式です。角度の向きが逆なだけです。

蛇足ですが、
角度の加法定理は、添付図をじっくり眺めて Qのx座標と と S のy座標を求めれば、すぐに求まります。

この回答へのお礼

詳細な図まで付けていただき大変ありがとうございました。大変よく分かりました。

「これが回転の座標変換の式です。角度の向きが逆なだけです。」の一言に納得感を感じました。

御回答をいただいた皆様に感謝です。

お礼日時：2014/09/23 20:08

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/09/23 13:05

もうちょっと補足すると、前の質問の右側の図は

点が右回転、座標が左回転して位置関係が90度
変わってしまっていて意味不明。

多分何か説明が足りないです。

この回答への補足

　私の質問の仕方が悪く申し訳ありません。かつて質問した件は，他の資料などによって取りあえず解決しました。今回は別件とお考えいただきたいと思います。
　その上でＮｏ．３の方が書いていただいた図は大変わかりやすいです。座標軸そのものが反時計回りに回転するときの変換式の導き方がよく分かりました。
（現在私が見ている本も同じ説明ですが，Ｎｏ．３の方の説明図の方がうんと親切でよく分かります。）

　以上を踏まえて質問なのですが，座標軸そのものを反時計回りにα°回転させるときの変換式

Ｘ＝ｘｃｏｓα＋ｙｓｉｎα
Ｙ＝－ｘｓｉｎα＋ｙｃｏｓα

をＮｏ．３の方が書いたような図を使わずに，導く方法はないかという質問です。

＊　単に座標上のある点（ｘ，ｙ）をα°回転させるのであれば移動後の座標は（ｒｃｏｓ（θ＋α），ｒｓｉｎ（θ＋α））と書き，式を簡単にするだけですみます。このような方法が座標軸そのものの回転でもあるのではないかと考えたのです。）

補足日時：2014/09/23 14:56

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/09/23 11:10

>Ｘ＝ｘｃｏｓα＋ｙｓｉｎα

>Ｙ＝－ｘｓｉｎα＋ｙｃｏｓα

普通正しいのはこっち。

座標が左に回れば、その座標から見て
点は右に回る。

回転行列と回転の座標変換の変換行列では
角度の符号は逆転します。覚えておきましょう。

No.5 回答者： think2nd 回答日時： 2014/09/23 11:05

"ところが，ある本に同様の計算がついていたのですが，

　Ｘ＝ｘｃｏｓα＋ｙｓｉｎα　　・・・(1)
　　Ｙ＝－ｘｓｉｎα＋ｙｃｏｓα・・・(2)
となっており正負が異なります。"
単なる勘違いじゃないですか。
　　我々がよくやる間違いですよ。

Xとx、Yとyを書き換えてください。

No.4 回答者： kmee 回答日時： 2014/09/23 09:48

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8716396.html
前の質問をちゃんと貼っておきましょう。

元の質問は「ｘｙ座標系から４５°傾いたXY座標系へ変数を変換する」
「正解」から逆算と、#5の
> 余談ですが、回転するのが位置ではなくて座標軸の場合、
> 座標軸の回転方向を反時計回り(訳註:時計回りの間違いと思われる)で正とするのが一般的です。
> なので回転とは逆回りになります。
から判断すると、時計回りに45°傾けたものでした。


今回は、αは反時計回りが正のようです。
前回の問題、または、今回の問題で、どちらの方向が正か、明記されていませんか?(問題中に図示されてるとか)
また、x,y座標とXY座標の関係(元の座標系と傾けた座標系)が逆だったりしませんか?

No.3 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/09/23 09:06

私の計算が違っているのでしょうか。

それとも何かの仮定が異なっているのでしょうか。
＞計算が違っているのでしょう。
図(添付)から
x=Xcosα-Ysinα(1)
y=Xsinα+Ycosα(2)
(1)*sinα
xsinα=Xsinαcosα-Ysin^2α(3)
(2)*cosα
ycosα=Xsinαcosα+Ycos^2α(4)
(3)-(4)
xsinα-ycosα=-Y(sin^2α+cos^2α)=-Y
Y=-xsinα+ycosα
(1)*cosα
xcosα=Xcos^2α-Ysinαcosα(5)
(2)*sinα
ysinα=Xsin^2α+Ysinαcosα(6)
(5)+(6)
xcosα+ysinα=X(cos^2α+sin^2α)=X
以上から
X=xcosα+ysinα
Y=-xsinα+ycosα

No.2 回答者： NoSleeves 回答日時： 2014/09/23 07:34

質問文を読んでいて、よく分からなかったのですが、何を中心に何を反時計回りにα°回転したのですか。

たぶん原点を中心に回転したのだと思いますが、反時計回りにα°回転したのは「ある点」なのか、それとも「xy-座標系」なのか、どちらなのでしょうか。
「ある本」に図が載っているなら、回転したのがどちらなのか、その図を見れば判断できるのではないでしょうか。

この回答への補足

Ｎｏ．１の方，Ｎｏ．２の方早速の御回答ありがとうございました。
御指摘のとおり，原点を中心に座標そのものを回転するという図でした。
　私の計算は，ｘｙ座標上のある点を，原点を中心にα°回転するという計算をしています。
（α＝９０°として（ｘ，ｙ）＝（１，２）は（ｘ，ｙ）＝（－２，１）に移ります。）

　そこで，改めて教えていただけたらうれしいのですが，座標そのものを回転する（この質問で言うＸＹ座標）ときの計算
Ｘ＝ｘｃｏｓα＋ｙｓｉｎα　Ｙ＝－ｘｓｉｎα＋ｙｃｏｓα　はどのように導いたのでしょうか。

　私の読んでいるある本は複雑な図を使って説明しています。加法定理で座標そのものの回転もやれないでしょうか。

補足日時：2014/09/23 09:42

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/09/23 01:58

α として具体的な数値をあてはめてみればわかるはず. 例えば α = 90° のときを考えると

・あなたの計算だと (X, Y) = (-y, x)
・「ある本」によれば (X, Y) = (y, -x)
になる. どっちが正しいと思う?