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R=xi+yj+zk 、r= |R|とする(r≠0とする)

div(R/r^3)=0

を証明してください。かなり困っています

A 回答 (4件)

ほかの人とは別の方法で。



div(R/r^3)=∇・(R/r^3)

です。
この∇を極座標で表したものを使用しましょう。

r,θ,φが増える方向の単位ベクトルをEr,Eθ,Eφとします。
∇=Er*∂/∂r+Eθ/r*∂/∂θ+Eφ/(rsinθ)*∂/∂φ
となります。

このことから
div(R/r^3)={Er*∂/∂r+Eθ/r*∂/∂θ+Eφ/(rsinθ)*∂/∂φ}・(Er/r^2)  (1)
となります。(R=r*ErですのでR/r^3=r*Er/r^3=Er/r^2)

ここで、次の関係式を使います。
∂Er/∂r=0 (rが増えるだけではErは変化しません)
∂Er/∂θ=Eθ
∂Er/∂φ=Eφ*sinθ
rはθ,φと独立な変数なので∂r/∂θ=∂r/∂φ=0です。

(1)の微分をして"0"でない項は限られます。
(1/r^2をrで偏微分した項とErをθ,φで偏微分した項が残ります)
残った項のベクトル部分の内積はすべて"1"となります。

(1)=-2/r^3+1/r^3+1/r^3=0

この方法でラプラシアンをr,θ,φだけであらわすこともできます。(計算はこれよりももっと複雑です。Eθ,Eφの偏微分が必要となりますがこれが結構面倒な形になります。)
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R↑=xi↑+yj↑+zk↑ (i↑,j↑,k↑は単位ベクトル)



r=(x^2+y^2+z^2)^(1/2)

P↑=R↑/r^3=(x/r^3)i↑+(y/r^3)j↑+(z/r^3)k↑=Pxi↑+Pyj↑+Pzk↑

とおくと

div(R↑/r^3)=div(P↑)=∂Px/∂x+∂Py/∂y+∂Pz/∂z

=∂(x/r^3)/∂x+∂(y/r^3)/∂y+∂(z/r^3)/∂z (1)

ここで

∂(x/r^3)/∂x=[r^3-x3r^2(∂r/∂x)]/r^6=[r^3-3xr^2(∂r/∂x)]/r^6

∂r/∂xは

∂r/∂x=(1/2)(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)×2x=x/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)=x/r

⇒∂(x/r^3)/∂x=[r^3-3xr^2x/r]/r^6=[r^2-3x^2]/r^5 (2)

同様に

∂(y/r^3)/∂y=[r^2-3y^2]/r^5 (3)

∂(z/r^3)/∂z=[r^2-3z^2]/r^5 (4)

(2),(3),(4)を(1)に代入して

div(R↑/r^3)=[r^2-3x^2]/r^5+[r^2-3y^2]/r^5+[r^2-3z^2]/r^5

=[3r^2-3(x^2+y^2+z^2)]/r^5=(3r^2-3r^2)/r^5=0
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x成分 = x / (x^2+y^2+z^2)^(3/2)



∂x成分/∂x = ((x^2+y^2+z^2)^(3/2)-x(3/2)(x^2+y^2+z^2)^(1/2)2x) / (x^2+y^2+z^2)^3
= (x^2+y^2+z^2)^(1/2)(-2x^2+y^2+z^2) / r^6 = (-2x^2+y^2+z^2) / r^5

つまり

∂x成分/∂x = (-2x^2+ y^2+ z^2) / r^5
∂y成分/∂y = ( x^2-2y^2+ z^2) / r^5
∂z成分/∂z = ( x^2+ y^2-2z^2) / r^5
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   (∂/∂x)(x((x^2 + y^2 + z^2)^(-3/2)))


   +(∂/∂y)(y((x^2 + y^2 + z^2)^(-3/2)))
   + (∂/∂z)(z((x^2 + y^2 + z^2)^(-3/2)))
を計算しろというだけの話。高校レベルの問題です。計算できない人は、まだこの問題に手をつける準備が出来てません。
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