パラメーター表示x(t)=(e^t t t)-実際は縦3行に表示、e^tはeのt乗のこと- で表される曲線の曲率k(t)のグラフで正しいものを選びなさい。
(1)lim t→ ー∞ k(t)=∞かつlim t→∞ k(t)=∞で、t=0で最小値0をとる。
(2)lim t→ ー∞ k(t)=∞かつlim t→∞ k(t)=∞で、t=0で正の最小値をとる。
(3)lim t→ ー∞ k(t)=∞かつlim t→∞ k(t)=0で、単調減少である。
(4)lim t→ ー∞ k(t)=0かつlim t→∞ k(t)=∞で、単調増大である。
(5)lim t→ ー∞ k(t)=0かつlim t→∞ k(t)=0で、t=0で最大値をとる。
解き方がわかりません。解答よろしくお願いいたします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>(x(t),y(t),z(t))でパラメータ表示された曲線の曲率k(t)は、
x,y,zのtによる微分をそれぞれx',y',z'、同じく二階微分を
x",y",z"とすると、
k(t)={1/(x'^2+y'^2+z'^2)^2}
*√[{x"(y'^2+z'^2)-x'(y'y"+z'z")}^2
+{y"(x'^2+z'^2)-y'(x'x"+z'z")}^2
+{z"(x'^2+y'^2)-z'(x'x"+y'y")}^2]
で表されるので、これに
x'=x"=e^t、y'=z'=1、y"=z"=0を代入すると、
k(t)={1/(e^t^2+1+1)^2}*√[{e^t(1+1)}^2+{-(e^te^t)}^2+{-(e^te^t)}^2]
=e^t√[2{2+e^(2t)}]/{2+e^(2t)}^2=√2e^t√{2+e^(2t)}/{2+e^(2t)}^2
=√2e^t/{2+e^(2t)}^(3/2)となるので、
lim[t→-∞]e^t=0だからlim[t→-∞]k(t)
=lim[t→-∞]√2e^t/{2+e^(2t)}^(3/2)=0/{2+0}^(3/2)=0
また、lim[t→∞]e^t=∞で
k(t)=√2e^t/{2+e^(2t)}^(3/2)={√2/e^(2t)}/[{2/e^(2t)+1}√{2/e^(2t)+1}]
だから
lim[t→∞]k(t)=lim[t→∞]{√2/e^(2t)}/[{2/e^(2t)+1}√{2/e^(2t)+1}]
=0/1=0
以上からlim[t→±∞]k(t)=0が分かったので答えを探すと(5)になる。
なお、参考までに
k'=[√2e^t{2+e^(2t)}^(3/2)-√2e^t(3/2){2+e^(2t)}^(1/2)e^(2t)2]/{2+e^(2t)}^3
=2√2e^t{2+e^(2t)}{1-e^(2t)}/{2+e^(2t)}^(7/2)
k'=0を解くと、1-e^(2t)=0からt=0、k(0)=√6/9
だから,k(t)はt=0で極大値√6/9をとる。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 三角関数の極限を「はさみうちの原理」で考える時の不等号について 1 2022/07/22 01:13
- 数学 ガチ急ぎです!【大学数学】【解析】 有界な数列{a_n}について、k>0として ①lim sup k 1 2022/11/25 07:45
- 数学 解析学 質問です。 lim a_n=α(n→∞)のとき有界な数列{b_n}について lim (a_n 2 2022/11/25 07:47
- 数学 高校数学 極限 lim[n→∞]|1+i/n|^n を求める問題(iは虚数単位、nは自然数)で、 i 2 2023/02/13 12:22
- 工学 res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf 1 2022/12/01 23:05
- 数学 数学Ⅲの関数の極限、関数の連続・不連続に関しての質問でございます。 問題集には、次の関数の〔 〕内の 5 2022/05/19 10:43
- 数学 ①lim x→∞で1/xだった場合は発散しないため限りなく0に近い解が求められるのでしょうか? 例え 7 2022/05/16 19:27
- 数学 数3の極限の問題です。 ①lim(x→1) 2/(x-1)^2 ②lim(x→2) 3/x^2-3x 2 2022/11/30 10:26
- 数学 有限な値を取るための条件って一般化できるのでしょうか 6 2022/08/25 15:45
- 数学 微分可能 連続 わからない 3 2022/06/22 17:22
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について
-
数学の極限の問題です! (1)l...
-
【数学】 lim x→a ↑これってど...
-
極限 証明
-
1/0は何故発散すると言えるので...
-
極限について
-
真偽の問題でこの命題は偽なの...
-
ガウス記号の極限問題
-
次の無限数列の問題の解説を教...
-
関数の極限の問題です。
-
極限とは、限りなく近づくが決...
-
2変数関数のロピタルの定理
-
複二次式とは?
-
高3女子です lim(x→1+0) x/x-1...
-
写真の問題の極限について、解...
-
数学の講師仲間である議論,逆を...
-
数3極限についてです。 lim(x→∞...
-
この極限を求める問題で対数を...
-
lim(n→∞) (1-1/n)^nの求め方。
-
2変数関数の極限値の解き方(色...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について
-
【数学】 lim x→a ↑これってど...
-
数学の極限の問題です! (1)l...
-
極限について
-
数3極限についてです。 lim(x→∞...
-
高3女子です lim(x→1+0) x/x-1...
-
√(n+1)-√(n )の極限について。...
-
極限 証明
-
この極限を求める問題で対数を...
-
1/0は何故発散すると言えるので...
-
lim[x→0]1/(1+exp(1/x)) の極...
-
lim[x->1] (x+1)/(x-1)^2
-
「極限を調べろ」の問題は常に...
-
lim(n→∞) (1-1/n)^nの求め方。
-
f(x)=logx/x (x>0) の極限の求...
-
logx/xの極限でロピタルはダメ??
-
極限
-
2変数関数のロピタルの定理
-
2変数関数の極限値の解き方(色...
-
lim(x→-∞) x^3-2x+3 と lim(x→-...
おすすめ情報