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(1)OからABにおろした垂線の足をHとするとOH = OAsinα = OBsinβなので以下略。
(2)余弦定理から∠AOB = 120°
2sinα = sinβ = sin(120° - α) = (√3/2)cosα + (1/2)sinα
よりα = 30°, β = 90°となります。
(3)幾何学的な方法が思いつかないので座標平面に逃げると(幾何学の問題が楽に解けることがあります)
A(2, 0)、B(cosθ, sinθ) ただし(0°<θ<90°)とおけます。
M(1 + (1/2)cosθ, (1/2)sinθ)なのでOMとx軸とのなす角がαです。
Mの軌跡は中心(1, 0), 半径1/2の円Cを描くので
∠AOMが最大となるのはOMが円Cの接線となる時なのでα=30°となります。
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