速さの問題

Aさんの家とBさんの家は１２００m離れています。Aさんが一定の速さでBさんの家との間を往復すると１６分、Bさんが一定の速さでAさんの家との間を往復すると２０分かかります。Aさん、Bさんが２回目にすれ違うのはAさんの家から何mのところか求めなさい。

（中学生の問題です。解き方を教えてください）

No.1 回答者： rx178z 回答日時： 2014/11/22 10:38

Aさん、Bさんのスタート地点と経路、スタート時刻が言及されていないので、数学的に解答不可能です。

No.2 回答者： noname#201872 回答日時： 2014/11/22 12:44

グラフを描いてみると2回目にすれ違うのはAさんの最初の復路、Bさんの最初の復路であることがわかります。

時刻をt、AさんのAさんの家から測った距離をx、BさんのAさんの家から測った距離をyで表すと

Aさんの最初の復路は8分後から16分後までなので
x=-(1200/8)(t-16)

Bさんの最初の復路は10分後から20分後までなので
y=(1200/8)(t-20)+1200

x=yとおいてtの方程式を解けば2度目にすれ違う時刻が求まります。計算結果は書かないのでご自分で計算してください。

時刻が求まれば上の2つの式のいずれか（どちらでもよい）に代入してAさんの家からの距離が求まります。これもご自分でどうぞ。

この回答へのお礼

グラフ有難うございました。
わかりました。

お礼日時：2014/11/22 20:28

No.3 回答者： noname#201873 回答日時： 2014/11/22 12:49

#2訂正

×　y=(1200/8)(t-20)+1200
○　y=(1200/10)(t-20)+1200

No.4 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2014/11/22 15:07

算数で解くと、Aさんの速さは2400/16(m/分) = 150(m/分)、Bさんは、2400/20(m/分) = 120(m/分)です。

【２人が同時に出発したとして】、旅人算で、1200(m)/(120+150)=40/9(分)後。すなわち、A宅から150×40/9=2000/3 (m)、B宅から120×40/9=1600/3(m)の地点）
　一方、二回目に出会うということは
　　　　最初の出会い　　　二番目の出会い　最初の出会い
A---------><-----B------------><--A---------><-----B
Aさん------------|------------><--|----------------Bさん
|<-------(80/9)×150m------------>|<-(80/9)×120m->|
　と同値なので、２人が向かい合って進むと、1200×2/(120+150) = 80/9 分後、
　進む距離は、80/9 × 150 (m) = 4000/3(m)
　Bまでの距離を引くと、4000/3 - 1200 = 400/3m

数学（中学生)だと、文章を式にして計算すれば良いだけです。
Aからの距離は、1200mの折り返しごとに遠ざかったり近づいたりする。二回目は一回目の折り返し後。
　l = {1200×2/(2400/16 + 2400/20)}2400/16 - 1200 = 400/3

この回答へのお礼

有難うございました。

お礼日時：2014/11/22 20:29

No.5 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/11/22 15:18

＞Aさんの速さは1200*2/16=150(m/s)

Bさんの速さは1200*2/20=120(m/s)
AさんとBさんが同時にそれぞれの家をスタートして相手の家に向かい、着いたら
すぐに折り返して自分の家に向かうとすると、二人は1回すれ違ってから相手の
家に着く。
BさんがAさんの家に着いたときにAさんはBさんの家で折り返してから150*2=300(m)
だけ自分の家に近づいている(AさんはBさんより片道の所要時間が2分短い)ので、
そのときのAさんとBさんの距離は900(m)。
二人の距離は1分間で150+120=270(m)縮まるので、二人が次にすれ違うまでの
所要時間は900/270=10/3(分)。この間にBさんが進む距離は(10/3)*120=400(m)・・・答

この回答へのお礼

有難うございました。

お礼日時：2014/11/22 20:30

No.6 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/11/22 20:57

＞No.5です。

単位を間違え失礼しました。
(m/s)は誤りで正しくは(m/分)です。
訂正して再回答します。
＞Aさんの速さは1200*2/16=150(m/分)
Bさんの速さは1200*2/20=120(m/分)
AさんとBさんが同時にそれぞれの家をスタートして相手の家に向かい、着いたら
すぐに折り返して自分の家に向かうとすると、二人は1回すれ違ってから相手の
家に着く。
BさんがAさんの家に着いたときにAさんはBさんの家で折り返してから150*2=300(m)
だけ自分の家に近づいている(AさんはBさんより片道の所要時間が2分短い)ので、
そのときのAさんとBさんの距離は900(m)。
二人の距離は1分間で150+120=270(m)縮まるので、二人が次にすれ違うまでの
所要時間は900/270=10/3(分)。この間にBさんが進む距離は(10/3)*120=400(m)・・・答

No.7 ベストアンサー 回答者： kittensillabub 回答日時： 2014/11/22 23:22

AさんとBさんが同時にスタートするという条件を追加しておきます。

折り返すと考えるとピンときにくいので、ちょっと視点を変えます。
Aさんの目的地は Aさんの家(A家)、Bさんの目的地は Bさんの家(B家)です。

　　A家 <-------> B家

こんな感じ。問題は２回目に合う場所なので、
スタート地点を変えて向かい合って移動するようにします。
AさんはA'からA家に向かう、BさんはB'からB家に向かう。

　　B' -------> A家 <-------> B家 <------- A'

1200mづつ離れています。全体は 3600mですね。
AさんとBさんがすれ違う所、つまり同じ時間を歩いて合計 3600mとなるところを
求めればいいと、なります。

あとは、問題から Aさんが 16分で歩くところをBさんは20分かかるので、
同じ時間で歩く距離は A : B = 5 : 4 です。合計 3600mになるには
A : B = 2000m : 1600m を、それぞれが歩いた地点が答えです。
Aさんは自分の家まで 2400m歩くので、 Aさんの家からの距離は、すれ違ってから
あとどれだけ歩けばよいかということになります。

この回答への補足

有難うございます。私もこの考え方をしていました。

こんな感じ。問題は２回目に合う場所なので、
スタート地点を変えて向かい合って移動するようにします。
AさんはA'からA家に向かう、BさんはB'からB家に向かう。

　　B' -------> A家 <-------> B家 <------- A'

1200mづつ離れています。全体は 3600mですね。
AさんとBさんがすれ違う所、つまり同じ時間を歩いて合計 3600mとなるところを
求めればいいと、なります。


ここまでは同じです。二人が出会う時間をx分とすると

150x＋120x=3600

X=360/270=40/3分
これをAさんで考えるとその距離は150×40/3=2000m

これはAが出発してBを折り返して800mのところ（1200＋800＝2000)

つまりAの家からだと400m　

これでいいのでしょうか？

補足日時：2014/11/24 13:56