すいません、お世話になります。
スピンの上昇下降演算子S^{+-}ってありますよね?
第二量子化を行うとどうなりますか?
特別な場合としては、スピンが1/2スピンの集合の時には、
粒子の番号iを用いて、
S^+ = Σ_i c^†_{i↑} c_{i↓}
S^- = Σ_i c^†_{i↓} c_{i↑}
でよいと思います。
知りたいのは、一般のスピンの場合です。
例えば、粒子のスピンが|S=1,m_S=1>に作用させると、
下降演算子S^-を作用させると、
S^-|S=1,m_S=1>
= \hbar √(S + m_S)(S - m_S + 1)|S=1,m_S=0>
= \hbar √2|S=1,m_S=0>
分かっていますよね。これをcを用いて表すと、
どうなるのでしょうか?
よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
大学で物理の研究と教育をやっている siegmund です.
おっしゃるとおり S=1/2 に対しては
S^+ = Σ_i c^†_{i↑} c_{i↓}
S^- = Σ_i c^†_{i↓} c_{i↑}
ですね.
式も注意深く書かれて,見やすいし誤解のおそれもありません.
LaTeX お使いのようですから当然ですかね(偉そうに聞こえましたら失礼).
念のため
S^z = (1/2)Σ_i (c^†_{i↑} c_{i↑} - c^†_{i↓} c_{i↓})
で,c^† と c は それぞれフェルミオンの生成と消滅の演算子.
さて,S>1/2 に対してですが,上のような(あるいは簡単に拡張した)表式は存在しません.
パウリ原理によりフェルミオン個数は0か1に限定されていますので,
例えば S=1 は表現できないのです.
それならばフェルミオンを2種類持ってくればいいのではないか?
確かにそうですが,それは S=1/2 を2個持ってきて S=1 を表すことになります.
そうすると,角運動量合成により S=1/2 が2個からは
S=1 で S^z = +1,0,-1 および S=0 の状態が生成されます.
波動関数で言えば,順に
|↑↑>,(1/√2)(|↑↓> + |↓↑>),|↓↓>,(1/√2)(|↑↓> - |↓↑>)
で,最初の3つがいわゆる3重項状態(triplet),最後が1重項状態(singlet)です.
したがって,単にフェルミオンを2種類持ってくると S=1 より余分な状態
(つまり S=0 状態,あるいは singlet 状態)が入ってきてしまいます.
これを取り除くように拘束条件を付ければよいのですが,
その拘束条件は各スピン毎に必要で(こういうのを局所的拘束条件といいます),
具体的問題が与えられたときに取り扱いが非常に困難です.
以上のような事情で普通の教科書には S>1/2 のフェルミオン表現が書かれてないのです.
研究論文レベルではそういう試みもあります.
フェルミオンでなくてボソンを使えば1種類で済みますが,
ボソンだと個数が何個でも可能ですから,今度は個数が 2S 個以下という拘束条件
(各スピンに必要なのでまた局所的)が必要になります.
ボソンを使う方法だと,Holstein-Primakoff 変換,Dyson-Maleev 変換,Schwinger ボソン法,
などがあります.
また,1次元の S=1/2 スピン系に限ってはフェルミオンで表す方法(質問とは違った変換)として
Jordan-Wigner 変換があります.
おお、お褒めの言葉、そして、的確なご回答をありがとうございます^^。
やはりフェルミオンであるか、ボソンであるか、
を設定することを避けることはできないのですね。
そうですか、フェルミオンに対しては、
局所的拘束条件というものがあるのですか。
覚えておきます。
僕は、大学に残れず、趣味で物理をやっているのですが、
Holstein-Primakoff変換は、僕の修士の時の研究で、
スピン波に関して、ちょっと触れました。
なるほど、今見返してみたら、確かに自分の疑問に対する
解答になっています。
今回、siegmundさんに、物理の展望を広げて頂けて、感謝です。
本当にありがとうございましたm(_ _)m。
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