2*2*2の立方格子上に並んだ電子に対して全通りのエネルギー(固有値)を求めて分配関数を作り、比熱の温度依存性を求めるようなプログラムを作ったら、画像のようなグラフが出てきました。位置とスピンには周期境界条件を使っています。使ったモデルはイジングモデルとハイゼンベルグモデルで、外部磁場は0としています。イジングモデルを緑の線で、ハイゼンベルグモデルを赤い線でプロットしました。
ハイゼンベルグモデルがイジングモデルと違って2次相転移(比熱の発散)を起こさないためにピークが緩やかなのかな、と思ったのですが、だとすると相転移を起こさない理由がわかりません。また、ハイゼンベルグモデルのピークがイジングモデルよりも高温寄りにずれている理由もわからないので、どちらかわかる方がいらっしゃったら教えていただけると幸いです。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
スピン間相互作用を -J S_i・S_j の形に書くことにして
2次元正方格子イジングモデルでは T_c/J ≒ 0.57,
ハイゼンベルグモデルでは T_c/J = 0
3次元単純立方格子イジングモデルでは T_c/J ≒ 0.75,
ハイゼンベルグモデルでは T_c/J ≒ 0.61
です.
ハイゼンベルグモデルの方が秩序が起こりにくいので,
同じ格子で見て T_c/J が小さくなっているのは自然です.
計算結果とは逆になっていますが,理由はすぐにはちょっとわかりません.
2×2×2の8スピンが小さすぎるのかも知れません.
この系だと周期的境界条件と開放境界条件の違いはちょうど J を倍にすることに
なってしまいます.
計算のチェックも必要ですかね.
2スピンは簡単に手でできます.
4スピンはトータルの磁化で分類すれば6×6の行列になり,
さらに対称性で分類できますから,これも手で解けるでしょう.
> イジングモデルの方がパラメータの変化に対して敏感なようです。
イジングモデルはz成分1つしかないのに対して
ハイゼンベルグモデルはx,y,zの3成分あります.
ごく単純に考えれば,磁場はz成分にのみ関係しますから,
イジングモデルの方が磁場が効きやすいように思えます.
ただし,3成分は独立でなくて交換関係がありますから,
いつでもそんなに単純かどうかはわかりませんね.
ありがとうございます。
なるほど、秩序が起こりにくいからハイゼンベルグの方が転移温度が低いんですね。
計算のチェックは数値計算の誤差がいけないのかモデルがいけないのかのチェックですね。4スピンでも結構大変ですね・・・。2スピンではmathematicaで書いてみましたが、イジングのピークの方が高温寄りでした。4スピンだとどうなるのかはこれから計算すれば分かりますが、小さすぎる系だとそういう問題が起きるのですね。
No.1
- 回答日時:
> ハイゼンベルグモデルがイジングモデルと違って2次相転移(比熱の発散)を起こさないために
単純立方格子上のハイゼンベルグモデルもイジングモデルも有限温度相転移を起こします.
ハイゼンベルグモデルの方が転移温度が低いです.
2次元正方格子の場合と混同されているのでは?
イジングモデルでは8個のスピンに任意に↑と↓を配置したものは固有状態になりますが,
ハイゼンベルグモデルでは固有状態にはなりません.
2個のスピンで考えてみれば明らかで,
J S_1・S_2 (S はベクトル演算子なので本当は太字)の固有値は
E = J/4 (対応する固有状態3つ,いわゆるトリプレット)と
E=-(3/4)J (対応する固有状態1つ,いわゆるシングレット)です.
↑↓という状態は固有状態ではありませんので,イジングモデルと同じような計算はできません.
スピン8個なら,2^8 = 256 状態ありますから,
256×256 の行列の固有値をすべて求めることになります.
よく用いられるのはハウスホルダー法ですが,
そこらへんは大丈夫なのでしょうね.
度々ありがとうございます。
Heisenbergモデルではハミルトニアンの非対角成分が0でないから固有状態がイジングモデルと違うということは多分理解できています。ハミルトニアンから全てのエネルギー固有値を求めて分配関数Zを計算し、公式
内部エネルギーU=-∂(lnZ)/∂β (β:逆温度)
比熱c=(1/N)∂U/∂T (T:温度)
に当てはめて計算しました。しかし、ハイゼンベルグモデルの方が転移温度が低いということは、そもそもこのグラフは間違っているということでしょうか。だとしたら、2*2*2の周期境界条件のせいなのでしょうか・・・。
(
ちなみにハミルトニアンの対角化は、
http://pc-physics.com/taikakuka.html
このサイトのプログラムをそのまま使ってやりました(早く結果を出したかったので)。このサイトがなんという名前の方法を使っているのか知らないのですが、ハウスホルダー法ではないような気がします・・・。
)
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
- ・ゆるやかでぃべーと タイムマシンを破壊すべきか。
- ・歩いた自慢大会
- ・許せない心理テスト
- ・字面がカッコいい英単語
- ・これ何て呼びますか Part2
- ・人生で一番思い出に残ってる靴
- ・ゆるやかでぃべーと すべての高校生はアルバイトをするべきだ。
- ・初めて自分の家と他人の家が違う、と意識した時
- ・単二電池
- ・チョコミントアイス
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
XPS(ESCA):Ga2p1/2,3/2、この1...
-
(量子力学)密度行列は実対称行...
-
力学的エネルギーの保存でレー...
-
なぜ、イオンのM殻は18個まで入...
-
高校物理の力学の質問
-
何で暇だとエロいことを考えて...
-
X線のKαって何を意味するので...
-
「U = mgh」の「U」は何の略な...
-
もう、何も頑張りたくないです...
-
世界で一番重いものは何ですか?
-
ディラックの海と真空
-
エネルギー無限の法則ってあり...
-
演算子を対角化するとはどうい...
-
超高温 vs 超低温(絶対零度)...
-
正準量子化はなぜ上手くいくのか
-
放射線β線はなぜ連続スペクトル...
-
五次元空間、六次元空間、・・...
-
電子は負荷にエネルギーを運べるか
-
フェルミエネルギーについて
-
位置エネルギー U
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
XPS(ESCA):Ga2p1/2,3/2、この1...
-
「ダブルダブレットとトリプレ...
-
スピンの平行 反平行について
-
スペクトル項(Cの基底状態のも...
-
重いホールと軽いホール
-
インターネットで磁気量子数と...
-
ナトリウムランプのD1 D2
-
Heの励起状態について
-
再度スピン系について
-
電子軌道のエネルギー準位 スピ...
-
比熱の温度依存性のモデルによ...
-
素粒子のスピンには上向きと下...
-
ものすごく基本的質問で申し訳...
-
2次元自由電子の状態密度関数
-
磁性の基礎(ZFCの状態)
-
スピノンって何ですか?
-
実空間のもつ対称性と波数空間...
-
2状態系の角運動量の合成
-
正孔ってスピンがあるんですか?
-
金属の反強磁性とネスティング...
おすすめ情報
比熱の温度依存性だけでなく磁化の温度依存性・磁場依存性も書いてみました。これらの共通点として、どうやらキュリー温度に対応する温度や磁場=0のような相転移の起こるところの周辺で、イジングモデルの方がパラメータの変化に対して敏感なようです。