部分空間Wの生成系

部分空間Wの生成系を求めたいのですが、求め方がわかりません。やり方を教えてください。
答えは（-27,15,2,0）,（-21,11,0,2）だそうです。

No.1 ベストアンサー 回答者： hiccup 回答日時： 2015/01/22 00:37

２つの１次方程式で未知数が２つ以上あるから、２つの未知数を残ったもので表すのですよ。

そうすると、生成系がわかります。

私なら第一式から「z で表す」ことはしませんな。でも答えからすると z と w で表しているようです。仕事が減らせるのに。


たとえば、x と y を定数扱いして z と w の連立１次方程式と見て解いたものが

z=3x-5y
w=2x+4y

だったとすると

(x,y,z,w)=(x, y, 3x-5y, 2x+4y)
=(x, 0, 3x, 2x)+(0, y, -5y, 4y)
=x(1,0,3,2)+y(0,1,-5,4)

となり、〈 (1,0,3,2), (0,1,-5,4) 〉を生成系に選ぶことができる、というわけです。

ふつう分数が出てきますが、もしも

z=(-2/3)x+(5/3)y
w=(7/2)x-(9/4)y

な感じになったら、同様にして

(x,y,z,w)=(x/6)(6,0,-4,21)+(y/12)(0,12,20,-27)

とし、係数を書き直すと　x'(6,0,-4,21)+y'(0,12,20,-27)

とできるから、生成系を〈 (6,0,-4,21), (0,12,20,-27) 〉にすることができる、というわけです。


先にも書いてますが、z と w を定数扱いして x と y の連立１次方程式と見れば、答えと同じものが出ますよ、きっと。