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部分空間Wの生成系を求めたいのですが、求め方がわかりません。やり方を教えてください。
答えは(-27,15,2,0),(-21,11,0,2)だそうです。

「部分空間Wの生成系」の質問画像

A 回答 (1件)

2つの1次方程式で未知数が2つ以上あるから、2つの未知数を残ったもので表すのですよ。

そうすると、生成系がわかります。

私なら第一式から「z で表す」ことはしませんな。でも答えからすると z と w で表しているようです。仕事が減らせるのに。


たとえば、x と y を定数扱いして z と w の連立1次方程式と見て解いたものが

z=3x-5y
w=2x+4y

だったとすると

(x,y,z,w)=(x, y, 3x-5y, 2x+4y)
=(x, 0, 3x, 2x)+(0, y, -5y, 4y)
=x(1,0,3,2)+y(0,1,-5,4)

となり、〈 (1,0,3,2), (0,1,-5,4) 〉を生成系に選ぶことができる、というわけです。

ふつう分数が出てきますが、もしも

z=(-2/3)x+(5/3)y
w=(7/2)x-(9/4)y

な感じになったら、同様にして

(x,y,z,w)=(x/6)(6,0,-4,21)+(y/12)(0,12,20,-27)

とし、係数を書き直すと x'(6,0,-4,21)+y'(0,12,20,-27)

とできるから、生成系を〈 (6,0,-4,21), (0,12,20,-27) 〉にすることができる、というわけです。


先にも書いてますが、z と w を定数扱いして x と y の連立1次方程式と見れば、答えと同じものが出ますよ、きっと。
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n次元ベクトル空間Vのベクトルv1,....vnについて、

v1,...vnが線型独立であることと

V=<v1,....vn>であることは同値

だとあるんですが、なぜなのかよく分かりません。
もし当たり前のことでしたら、申し訳ないのですが理由を教えて(証明でもいいです)いただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>解答していただきありがとうございます。
せっかく書いていただいたのですが、V=<v1,....vn>はVのすべてのベクトルがv1,....vnの線型結合になっている(Vの生成系)という事を表現していました。、
私の説明不足のせいで申し訳ありません。
V=<v1,....vn>が上記の条件の場合の理由を教えていただけるとありがたいです。

同じことです(笑)
確認したのは記号が説明なく出てきたからです

貴方の式は
V=<v1,....vn> となっていますね
これは、v1,....vnが基底ということです
空間の次元がnでv1,....vnの1次結合の全体がVということです

このとき、何故v1,....vn が1次独立になるか
少し補足しておきましょう

v1,....vn が1次独立でなければ
この中の1次独立なものは
v1,....vr (r<n)
となってしまいます
めんどうだから最初のr個が1次独立としました
v(r+1),....vnはv1,....vrの1次結合でかけます

空間の次元はnですから
nこまで1次独立なものを増やせます
v1,....vr, u(r+1),....un
これが基底になります
u(r+1),....un
はv1,....vr の1次結合では書けません
つまり
v1,....vn の1次結合でも書けません
これは
V=<v1,....vn> に矛盾するでしょ

>解答していただきありがとうございます。
せっかく書いていただいたのですが、V=<v1,....vn>はVのすべてのベクトルがv1,....vnの線型結合になっている(Vの生成系)という事を表現していました。、
私の説明不足のせいで申し訳ありません。
V=<v1,....vn>が上記の条件の場合の理由を教えていただけるとありがたいです。

同じことです(笑)
確認したのは記号が説明なく出てきたからです

貴方の式は
V=<v1,....vn> となっていますね
これは、v1,....vnが基底ということです
空間の次元がnでv1,.......続きを読む