「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

v(dv/dt)とd/dt(v^2/2)この2つでvの後ろと前にあるのでdv/dtやd/dtはどのように意味が違うのですか?

質問の内容が分かりにくいかもしれませんがよろしくお願いします。

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A 回答 (4件)

dv/dtはvの時間に対する微分係数。

d/dtは
時間に対する微分係数を導出する微分演算子。
形式的な違いです。

dv/dt=d/dt(v)

微分係数を求める式が長いと、左の表現では
分子が大きくなって頭でっかちな数式になって美しくないので
右の表現を使います。
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<v(dv/dt)とd/dt(v^2/2)この2つでvの後ろと前にあるのでdv/dtやd/dtは


どのように意味が違うのですか?>

他の方の回答にある様に:
dv/dtはvの時間に対する変化率(微分係数)、
d/dtは時間に対する変化率(微分係数)を導出する微分演算子、
です。

d/dt(v^2/2) は関数v^2/2を時間tで微分する(演算する)事を意味します。
v = v(t) として時間tで微分すると、微分公式より
d/dt(v(t)^2/2) = v・ dv(t)/dt と成ります。
従ってv(dv/dt)とd/dt(v^2/2)は、数学的には同じです。

物理的な解釈としては、例えば:
v(dv/dt) は「速度と速度の変化率(加速度)の積」、又は
v(mdv/dt)/mと書き直して「質量m当りの速度と力の積」と言い換えることが
できます。これでは意味が不明です。
これに対して、d/dt・(v^2/2) は{d/dt・(mv^2/2)}/m と書き直せば、
「質量m当りの運動エネルギの時間変化」と云う明確な意味を持ってきます。
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これは一行で書くから混乱するのではないですか? 


数式表示すればよく分かると思います。
例えば、「1/2」(にぶんのいち)の数式表示では
1
-
2
という風に。
なお、前者は書き間違いではないでしょうか。
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ありゃりゃ、微分の意味が分かっていないのですね。



 dv/dtは、「vをtで微分する」、d/dt(v^2/2) は「v^2/2 をtで微分する」ということです。

 つまり、d/dt(v^2/2) は「d(v^2/2)/dt」ということです。ただカッコの中の関数が長く複雑になると表記しづらいので、外に出しているだけです。

 微分の意味は、関数を f(t) として(上記の場合は f(t) = v^2/2 )、

   [f(t+Δt) - f(t)]/Δt

で、分子を

  f(t+Δt) - f(t) = Δf

と書いたもので、Δt→0 にしたときの極限値が「微分値」ということです。「極限値」ということで、「Δ」を「d」と表記しています。

 この「定義」が分かっていれば、ご質問の中身もわかるはずですよね。
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Q(dv/dt)|……の意味

物理学のテキストを見ていると、微分の式dv/dtの右に縦棒(|)があり、右下にmaxとありました。下のような感じです

dv |
― |
dt |max

これはどのような意味なのでしょうか。maxがx=0などの数式であれば、
微分を施した後に、xに0を代入せよという意味だと分かるのですが。
その通りに、(微分を施した後にtにmaxを代入)といわれても、maxなる
変数は以前に存在しませんし、新たに作るにしても意味が分かりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

no1の訂正
dv/dxの最大値という意味だと思います。例えばv=sin(x)であれば
dv/dx|max=cos(0)=1 でしょう。

Q加速度 a=dv/dt = (d^2 x) /dt^2

加速度 a=dv/dt = (d^2 x) /(dt^2)
という公式があったのですが、(d^2 x) /(dt^2)はどうやって出せばよいのでしょうか?
dv/dt のvに
v=dx/dt
を代入すると
a=(d^2 x) /(d^2 t^2)
になってしまいます。
計算がまちがっているのでしょうか?

Aベストアンサー

微分でわからなくなったら差にして考えてみてください。

速度vというのは、Δtを十分に小さい量として

v(t) = [ x(t+Δt)-x(t) ]/[ (t+Δt)-t ] = Δx(t)/Δt

ですね。同じようにして加速度a(t)は

a(t) = [ v(t+Δt)-v(t) ]/[ (t+Δt)-t ] = Δv(t)/Δt

ですが、v(t)に上の結果を使うと

a(t) = Δv(t)/Δt = Δ[Δx(t)/Δt]/Δt = Δ[Δx(t)]/(Δt)^2

です。

微分というのはΔt→0の極限を取ったときにΔをdと書くという
約束になっているというだけのことなので、

a=dv/dt = (d^2 x) /(dt^2)

は間違いで、本当は

a=dv/dt = (d^2 x) /(dt)^2

という意味です。

また、

a=(d^2 x) /(d^2 t^2)

も間違いです。こう書いてしまうと分母はΔ(Δt^2)という意味になってしまいます。

Q微分のdx/dtというような表記の仕方がいまいち良くわかりません

記号の意味そのものは良くわかるのですが…
そのdx/dtに掛けたり割ったりする感覚が良くわかりません。
dy/dt×dt/dx=dy/dxのような?感じです
また、高次導関数をd^ny/dx^nと表記する仕組みも良くわかりません。
なぜ分数で言う分子の位置ではdに指数がついているのに分母の位置にではxに指数が付いているのか…まったくの謎です。
数学が苦手なので基礎的な部分から教えてください

Aベストアンサー

こんばんは。

dy/dx は、ある瞬間(xの微小変化)における、
xの変化量に対するyの変化量の割合です。

たとえば、y = x^2 という関数のグラフを例に取りますと、


xがaからa+2に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+2)-y(a))/(a+2 - a)
 = ((a+2)^2 - a^2)/(a+2 - a)
 = (4a + 4)/2
 = 2a + 2


xの変化の幅を1つ減らせば、

xがaからa+1に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+1)-y(a))/(a+1 - a)
 = ((a+1)^2 - a^2)/(a+1 - a)
 = 2a + 1


では、xの変化をさらに1つ減らした場合を考えます。
それは、xをaからaに変化させるということです。
aがいかなる値であっても、y=x^2のグラフには、たしかに傾きがありますが、
傾きというのは、変化の割合と同じです。
ですから、答えがあるはずです。
そこで、上記と同じく、x=a における変化の割合を求めるとすると、どうなるかと言えば、
(y(a)-y(a))/(a-a) = 0/0 (=不定)
という、わけのわからない結果となってしまいます。
しかし、グラフの傾きも、変化の割合も存在するはずです。

そこで、非常に小さい変化量を、dをつけた記号で表すことを考えます。

xの変化は、 a → a+dx
yの変化は、 y(a) → y(a+dx)

xの変化量は、dx ( = a+dx - a)
yの変化量は、dy = y(a+dx) - y(a)
です。


x=aにおける、xの変化に対するyの変化の割合
 =(y(a+dx)-y(a))/(a+dx - a)
 = ((a+dx)^2 - a^2)/(a+dx - a)
 = (2adx + (dx)^2 )/dx
とすることができます。

分子に(dx)^2 がありますが、
dx自体が非常に小さい量ですので、(dx)^2 は、全く無視してよい量となります。
よって、
x=aにおける、xの変化に対するyの変化の割合
 = (2adx + (dx)^2 )/dx
 = 2adx/dx
 = 2a
となります。

これで、x=a のときの dy/dx は、 2a と表せることがわかりました。

ということは、いかなるxの値についても、
dy/dx = 2x
であるということです。

以上のことで、
・x^2 を微分したら 2x になること
・dy/dx は、xの変化に対するyの変化の割合
の意味がおわかりになったと思います。


そして、
たとえば、y、t、x の3変数があって、
ある地点において、
tの変化量のxの変化量に対する割合が4で、
yの変化量のtの変化量に対する割合が3だとしましょう。
すると、xが1変化するのに対してyは12変化します。
dt/dx = 4
dy/dt = 3
dy/dx = 12 = 3 × 4 = dy/dt・dt/dx


なお、
高次導関数の表記については、単なる約束事だと思っておけばよいです。
素直に書けば、
1回微分は、dy/dx
2回微分は、d(dy/dx)/dx
3回微分は、d(d(dy/dx)/dx)/dx
ということになりますが、これでは見にくいので。


以上、ご参考になりましたら幸いです。

こんばんは。

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たとえば、y = x^2 という関数のグラフを例に取りますと、


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 = (y(a+2)-y(a))/(a+2 - a)
 = ((a+2)^2 - a^2)/(a+2 - a)
 = (4a + 4)/2
 = 2a + 2


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Q微分記号“d”について

こんにちは^^
微分記号“d”について質問です!

例えば、置換積分などをする際に
3x-2=t ・・・(1)
とするとします。

両辺を微分すると
3dx=dt ・・・(2)
となるのはわかるのですが、この時についているdxはなんなのでしょうか?
3は微分してできたものですよという印ですか?
高校のときになるものはなるで覚えてしまっていたのでちょっと理屈がわからなくて・・・

(1)式と(2)式の間は
d(3x-2)=dt
が入っていると考えてよろしいのでしょうか?
またdy/dxなどと表記するときとの違いも教えてください!

Aベストアンサー

物理の方では、dは微小量をあらわすと思えばいいと思います。

3dx=dt

は、微小な変化 dx に対応する t の変化量が dt ということになりますね。

3x-2=t ・・・(1)

つまり、xが変化しても-2の部分は変わりませんから、tの変化量に影響ありません。
xの3倍(から2を引いたもの)がtなのですから、微小変化 dx に対して、tの変化量 dt はdx の3倍になります。だから、

3dx=dt ・・・(2)

それで、(1)式と(2)式の間に文章で書いた部分をまとめると、

d(3x-2)=dt

ということにはなると思います。
微分しているのか、といえば、そのとおりです。dxに対応するtの変化量が必要なのですから、微分しています。
ただ、微分というのは

dt/dx = 3

と書くのが本当です。dt/dxは、ひとまとまりなんですよね。
分数みたいに見えるから、

dt=3dx ⇒ ∫dt=∫3dx ⇒ t=3x+C

みたいに計算するのです。
数学的にはかなり怪しい操作だと聞いたことがありますが、物理屋さんはよくやりますね。

物理の方では、dは微小量をあらわすと思えばいいと思います。

3dx=dt

は、微小な変化 dx に対応する t の変化量が dt ということになりますね。

3x-2=t ・・・(1)

つまり、xが変化しても-2の部分は変わりませんから、tの変化量に影響ありません。
xの3倍(から2を引いたもの)がtなのですから、微小変化 dx に対して、tの変化量 dt はdx の3倍になります。だから、

3dx=dt ・・・(2)

それで、(1)式と(2)式の間に文章で書いた部分をまとめると、

d(3x-2)=dt

ということには...続きを読む


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