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説明もなく当たり前のように通り過ぎ、聞くのが恥ずかしくて聞けませんでした。
添付画像の最後のdv/dtは何をしているのでしょうか。2vだけじゃ不十分なのでしょうか。
公式練習のxとは違い、vがただの変数ではなく、tの関数であるということなのでしょうか。

「最後のdv/dtは何でしょうか。」の質問画像
gooドクター

A 回答 (6件)

恐らくですが



(x^2)'=2x

と言う計算から単純に

(v^2)'=2v

ではないかと思われたのでしょう。高校の数学の教科書に出て来る

(x^n)'=nx^(n-1)

と言う公式には「xで微分するとこうなる」と言う表現が隠れています。どんな場合でも「微分したらこうなる」と言うわけではありません。その証拠に問題の式ではd/dtと言うように「時間で微分する」と明示してあるわけですから、物理の一般論を持ち出さなくても「vがtの関数」と言う事は式そのものに書いてあります。
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この回答へのお礼

何度もありがとうございます。お恥ずかしいことに、ご指摘の通りの思いこみです。vがtの関数であることさえ分かれば、式変形に疑問はないので、先に進めます。ありがとうございました。まとめてのお返事、すみません。

お礼日時:2021/07/07 22:44

d/dt(v^2) は v^2 の時間微分。


d/dt(v)=0 なら v は時間で変化しないってことだから
v^2 も時間で変化せず d/dt(v^2) はゼロのはずだよね。
でも

(1/2)m×2v は dv/dt = 0 でも ゼロにならない。
これは絶対におかしい。

v は時間の関数 v(t) だから

f(x) = x^2 とすると
v^2 = f(v)

df(v(t))/dt =df(v)/dv・dv/dt(合成関数の微分) = 2v・dv/dt

これなら dv/dt = 0 の時、d/dt(v^2) もゼロになる。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。vの部分が合成関数の微分ということさえ確証が得られれば、すっきりしました。

お礼日時:2021/07/07 22:47

2番目の質問についてですが、そもそもvが速度(この場合は速さと同義)である事はお分かりですよね。

質問文の中の「公式練習」なるものの意味がよく分かりませんが、等速度運動でなければ速度は時間によって変化するわけですから、一般的には「vはtの関数」と言う事になります。
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そうそう、vをtの関数とみてv²をtで微分すると右辺になる。


数学の合成関数の微分法の応用。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。そこさえ押さえられたら先に進めます。

お礼日時:2021/07/07 22:46

「v」は速度であり、「位置」の時間変化率、つまり「時間の関数」です。



それを時間で微分した「dv/dt」は「速度の時間変化率」であり、「加速度」です。

お示しの式は
・運動エネルギー:E = (1/2)mv^2
の「時間変化率」を求めるために時間で微分し、質量 m は定数ですから

 dE/dt = d[(1/2)mv^2]/dt
= (1/2)m・d(v^2)/dt       ①

これが左辺です。

ここで
 d(v^2)/dt = [d(v^2)/dv]・(dv/dt)
= 2v・(dv/dt)

なので、係数 (1/2)m をかければ
 右辺 = (1/2)m・2v・(dv/dt) = mv・(dv/dt)
です。
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この回答へのお礼

速度の時間変化率ということさえ明確に意識すれば、先に進めそうです。ありがとうございます。しかし、どうして入門的授業だったのに、そこの説明だけとばされたのか・・・いや、一般的には説明すべきでない当たり前すぎることなのですね。

お礼日時:2021/07/07 22:46

速度を時間で微分しているわけですから当然加速度です。

2v・dv/dtが出て来る過程は合成関数の微分から

d/dt(v^2)=d/dv(v^2)dv/dt

=2v・dv/dt

となります。
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