微分積分のdの意味

v(dv/dt)とd/dt(v^2/2)この２つでvの後ろと前にあるのでdv/dtやd/dtはどのように意味が違うのですか？

質問の内容が分かりにくいかもしれませんがよろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/05/23 10:04

dv/dtはvの時間に対する微分係数。

d/dtは
時間に対する微分係数を導出する微分演算子。
形式的な違いです。

dv/dt=d/dt(v)

微分係数を求める式が長いと、左の表現では
分子が大きくなって頭でっかちな数式になって美しくないので
右の表現を使います。

No.4 回答者： drmuraberg 回答日時： 2015/05/23 22:33

<v(dv/dt)とd/dt(v^2/2)この２つでvの後ろと前にあるのでdv/dtやd/dtは

どのように意味が違うのですか？>

他の方の回答にある様に：
dv/dtはvの時間に対する変化率（微分係数）、
d/dtは時間に対する変化率（微分係数）を導出する微分演算子、
です。

d/dt(v^2/2)　は関数v^2/2を時間ｔで微分する(演算する）事を意味します。
v = v(t) として時間ｔで微分すると、微分公式より
d/dt(v(t)^2/2)　= v・ dv(t)/dt　と成ります。
従ってv(dv/dt)とd/dt(v^2/2)は、数学的には同じです。

物理的な解釈としては、例えば：
v(dv/dt)　は「速度と速度の変化率(加速度)の積」、又は
v(mdv/dt)/mと書き直して「質量ｍ当りの速度と力の積」と言い換えることが
できます。これでは意味が不明です。
これに対して、d/dt・(v^2/2) は｛d/dt・(ｍv^2/2)｝/m と書き直せば、
「質量ｍ当りの運動エネルギの時間変化」と云う明確な意味を持ってきます。

No.3 回答者： angkor_h 回答日時： 2015/05/23 21:58

これは一行で書くから混乱するのではないですか？　

数式表示すればよく分かると思います。
例えば、「1/2」（にぶんのいち）の数式表示では
1
-
2
という風に。
なお、前者は書き間違いではないでしょうか。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2015/05/21 19:18

ありゃりゃ、微分の意味が分かっていないのですね。

　dv/dtは、「ｖをｔで微分する」、d/dt(v^2/2) は「v^2/2 をｔで微分する」ということです。

　つまり、d/dt(v^2/2) は「d(v^2/2)/dt」ということです。ただカッコの中の関数が長く複雑になると表記しづらいので、外に出しているだけです。

　微分の意味は、関数を f(t) として（上記の場合は f(t) = v^2/2 ）、

　　　[f(t+Δt) - f(t)]/Δt

で、分子を

　　f(t+Δt) - f(t) = Δf

と書いたもので、Δt→0 にしたときの極限値が「微分値」ということです。「極限値」ということで、「Δ」を「d」と表記しています。

　この「定義」が分かっていれば、ご質問の中身もわかるはずですよね。