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図に示すように、球内の熱伝導を考える。半径R1の内層には単位時間、単位体積当り発熱Sがあるとする。また、半径R1からR2までの外層内に発熱はないものとする。今、任意の半径r での熱流束qに対する微分方程式を得るために、半径r からr + Δrの薄い層を考える。半径rの位置で、この薄い層の全表面に流入する熱量は4πr^2q_rであり、また半径r + Δrの全表面から流出する熱量は4π(r+Δr)^2q_r+Δrとなる。そして、この流入する熱量と流出する熱量の差が、この層内で発熱がある場合にはその発熱量とバランスしている。以下の問いに答えよ。
(1)半径r≦R1の内層での熱流束q1を記述する微分方程式を導け。

答えは画像に書いてあるとおりになると思うのですがあっていますか
よろしくお願いします

「伝熱工学の問題についての質問です」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • dではなく∂だということはわかったのですが
    ∂/∂r{r^2・∂q(r)/∂r} + S = 0
    はどのようにして導き出されたのですか

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2015/06/07 14:32
  • Sはrの関数だということはわかったのですが、
    (4π(r+Δr)^2q_r+Δr)-(4πr^2q_r)=ΔS
    からどう変形すると下の式になるかわかりません
    ∂/∂r{r^2・∂q(r)/∂r} + S = 0

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2015/06/07 15:55

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A 回答 (3件)

Sはrの関数だと思いますが、微分しなくて良いんですか?(Δrで、S+ΔSになるような気がするんですが?)


あくまで、R1の内側ですよね?(体積的な内部発熱がある状態)
(4π(r+Δr)^2q_r+Δr)-(4πr^2q_r)=ΔSになるって事では無いですか?
この回答への補足あり
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平衡状態の話か過渡状態の話かで扱い方が全然違ってくる。

ここ、めっちゃ大事です。でも、ま、問題とご質問のレベルのバランスから見て、平衡状態の話だろうと思う。惑星内部の発熱の模型かな?

 平衡状態におけるこの球殻の熱の収支の方程式は、要するに
  (出て行ったぶん)+(消滅したぶん) = (入ってきたぶん)+(発生したぶん)
ということ。ちなみに過渡状態なら収支は
   (出て行ったぶん)+(消滅したぶん)+(ため込んだぶん) = (入ってきたぶん)+(発生したぶん)
というふうに勘定しなくちゃいけない。ま、それはさておき。
 ご質問の場合には(消滅したぶん)はゼロ。一方(発生したぶん)については、S=S(r)は単位体積当たりの発熱でしょ。だったら、半径r厚みΔrの球殻での発熱は、球殻の体積をかけ算して 4π(r^2)Δr S(r)になる。だから
  4π((r+Δr)^2)q(r+Δr) = 4π(r^2)q(r)+4π(r^2)Δr S(r)
ってことです。
 平衡状態、つまり、時間が経っても何も変化しない、という場合の話なんだから、時間tによる偏微分は(何をtで偏微分したってゼロに決まってるんで)出て来ようがない。で、時間が関係ないんなら熱伝導率も関係ないってことは、その単位を考えてみれば分かる。
 あ、また脱線した。元に戻って、両辺を4π(r^2)で割れば、
  ((1+Δr/r)^2)q(r+Δr) = q(r)+Δr S(r)
となり、これは「半径rの球殻上の、単位表面積当たりの方程式」になっている。慣れてくると、いきなりこの形が思い浮かぶ人もいると思う。でも、こうしてしまうとr=0のときに0による割り算が生じて破綻する。なので4π(r^2)じゃなく、4πで割っておくと
  ((r+Δr)^2)q(r+Δr) = (r^2)q(r)+(r^2)Δr S(r)
です。ここで
  q(r+Δr)=q(r)+Δq(r)
としてΔr, Δq(r)の2次以上の項を(あとでΔr→0の極限を取るとどうせ消えちゃうから)無視して展開すれば
  (r^2)q(r)+(r^2)Δq(r)+(2rΔr)q(r)=(r^2)q(r)+(r^2)Δr S(r)
だから
  (r^2)Δq(r)+(2rΔr)q(r)=(r^2)Δr S(r)
である。ここで、つい(r^2)で割り算したくなるでしょうが、そうすると、先に述べたようにr=0のときに困ってしまう。でもrで割るのならOKですね。式を整理した上で、最後にΔq(r)/Δrをdq/drに差し替えるんです。(つまりΔr→0の極限を取るということ。もちろん、(dq/dr) もrの関数です。)

 偏微分がどうしただとか混乱しやすい初心者は、いわゆる「従属変数」という(初心者には使いこなせない)概念を捨てて、上記のように「それがナニの関数なのかを、はっきり分かるようにいちいち書く」という習慣を付けると良いです。そうすると、この場合には偏微分に出番はないということも明確になるでしょ。

 ところで文字"Q"の書き方、"G"とまぎらわしいんで直した方が良いと思うぞ。下から右回りにマルを描いてからシッポをつけるんです。
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十分時間が経った定常状態での系の記述と言う事と理解する・・!



違う・・!
微分方程式は
∂/∂r{r^2・∂q(r)/∂r} + S = 0

(熱伝導率(λ)が定義されていない様なので取り敢えずλ=1で考えることにするが・・)
この回答への補足あり
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Q固有値と固有ベクトル・重解を解に持つ場合の解法

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくてこまってます。)

固有値λ1=λ2=-1より、求めるベクトルをx=t[x1,x2]とすると
A=
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
よって
2x1-x2 = 0
4x1-2x2 = 0
この二つは同一方程式より、x1 = 2x2
任意の定数αをもちいてx1 = αとすれば、
x = αt[1,2]

しかし、答えには、
x1 = αt[1,2]
x2 = βt[1,2] + αt[0,-1]

とありました。なぜなでしょう?
参考にしたページなんかを載せてくれるとありがたいです。

ちなみにこんな問題もありました。
A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|

これは固有値がすべて1になる場合です。
これも解法がのってませんでした。

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|4 -3|
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|4 -3-t|
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(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
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Aベストアンサー

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
= n - rank(A-λI)

したがって,
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき,λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから,rank(A-λI)=1
よって,固有空間は1次元
だから,本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです.
(0,-1)が固有ベクトルではないことは容易に確認できます.

A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様.A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で,計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります.

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
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(レイノルズ数の違いがポーラーカーブに差となって現れない)
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