グラスホフ数とプラントル数の積からレーリー数への導き方

自然対流による熱伝達を特徴づける無次元数はレーリー数（Ra）と呼ばれ、グラスホフ数とプラントル数の積で与えられます。
Ra=Gr・Pr

質問1①、②から③式を導きたいのですが、ρがどうしても1乗ではなく2乗になってしまいます。途中計算を噛み砕いて解説お願いします。もしかしたらテキストは誤植でしょうか？それも含めてご回答お願いします。

質問2さらにレーリー数、グラスホフ数、プラントル数が実際に無次元であることを確認するにはどうすればよいのでしょうか。噛み砕いて解説お願いします。

＜wikipedia　グラスホフ数＞
Gr=gρβ⊿θL^3/η^2―①
g:重力加速度〔m/s^2〕
ρ：密度〔kg/m^3〕
L：代表長さ〔m〕
η：粘度〔Pa・s〕
であり、伝熱現象の場合はβ、⊿θには体膨張係数〔1/K〕および温度差〔Ｋ〕をそれぞれ用いる。一方、物質移動現象の場合には、βには濃度に関する体膨張係数〔m^3/mol〕、⊿θには濃度差〔mol/m^3〕をそれぞれ用いる。

＜wikipedia プラントル数＞
Pr=ν/α=ηcp/k―②
ν=η/ρ：動粘度
α=k/ρcp：温度拡散率
η：粘度（Pa・s）
k：熱伝導率（J/smK）
ρ：密度（kg/m^3）
cp：比熱(J/kgK)

＜テキストのレーリー数＞
Ra=ρagδTL^3/kη―③
ρ：密度
a：熱膨張率
g：重力加速度
δT：上部と下部の温度差
L：対流する層の厚さ
k：熱拡散率

質問者からの補足コメント

• Gr=gρ^2β⊿θL^3/η^2の間違いでした。すいませんでした。ρがどうしても1乗ではなく2乗になってしまいます。また⊿θはどのように処理すればよいでしょうか？噛み砕いて解説お願いします。もしかしたらテキストは誤植でしょうか？それも含めてご回答お願いします。
  
  Ra, Gr, Prが無次元（次元を考えない）になっていることを確かめるとはどのような事をすればいいのでしょうか？
  
  重ねて回答お願いします。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/08/04 09:47

• 無次元の解説ありがとうございました。
  さてグラスホフ数とプラントル数の積からレーリー数への導き方もご解説宜しくお願いします。一度自分で計算してみましたが、ρがどうしても1乗ではなく2乗になってしまいます。また⊿θはどのように処理すればよいでしょうか？噛み砕いて解説お願いします。もしかしたらテキストは誤植でしょうか？それも含めてご回答お願いします。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/08/07 02:20

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2015/08/04 12:03

Ra=Gr・Pr

は無次元パラメータRa,Gr,Pr間の関係を言っているのであって、無次元ならばどんな関係も物理的にはおかしくない。無次元とは単位がないこと。つまり単位の無い数字の世界に入っている。例えば

Ra=Gr^2・√Pr

という関係で実験結果を近似できる可能性があるパラメータ範囲があるかもしれません。

よってRa,Gr,Prが無次元であることを確認したらこの話は終わりです。

＞Gr=gρβ⊿θL^3/η^2―①
g:重力加速度〔m/s^2〕
ρ：密度〔kg/m^3〕
L：代表長さ〔m〕
η：粘度〔Pa・s〕
であり、伝熱現象の場合はβ、⊿θには体膨張係数〔1/K〕および温度差〔Ｋ〕をそれぞれ用いる。

以下において次元を表すのに＝を用います。
N=kgm/s^2
η=Pa・s=(N/m^2)s=(kgm/s^2)s/m^2=kg/ms
Gr=gρβ⊿θL^3/η^2=(m/s^2)(kg/m^3)^2(1/K)Km^3/(kg/ms)^2=1

>Pr=ν/α=ηcp/k―②
ν=η/ρ：動粘度
α=k/ρcp：温度拡散率
η：粘度（Pa・s）
k：熱伝導率（J/smK）
ρ：密度（kg/m^3）
cp：比熱(J/kgK)

ν=η/ρ=(kg/ms)/(kg/m^3)=m^2/s
α=k/ρcp=(J/smK)/(kg/m^3)(J/kgK)=m^2/s
Pr=ν/α=1


>Ra=ρagδTL^3/kη―③
ρ：密度（kg/m^3）
a：熱膨張率(1/K)
g：重力加速度(m/s^2)
δT：上部と下部の温度差(K)
L：対流する層の厚さ(m)
k：熱拡散率=a=k/ρcp=m^2/s

ρagδTL^3=kg/m^3)(1/K)(m/s^2)Km^3=kgm/s^2
kη=(m^2/s)(kg/ms)=kgm/sec^2
Ra=1


Ra,Gr,Prがすべて無次元であることが確認できた。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2015/08/04 04:10

Gr=gρ^2β⊿θL^3/η^2

です。

Ra, Gr, Prが無次元になっていることを確かめてください。