電位と起電力

起電力について悩んでます。
電場Eは、電位Vがあった時、
- grad V = E
なのでした。電位の勾配が減っていく方を電場のプラス方向と考えたのでした。
逆に、電場Eがあったとき、
∫ -E dx = V
なのでした。試験電荷を電場に逆らって運ぶための仕事が電位に一致するのでした。

私は電磁気の教科書を読んでいて疑問に思ったのですが、ファラデーの電磁誘導の式
rotE = - ∂B/∂t
を導くときに、まずレンツの法則の式
V = -dΦ/dt
から出発して、誘導起電力Vを
V = ∫ E dx （ただし周回積分）
としていました。

これは2式目に矛盾しませんか？しないとしたらどんな理由なのでしょうか？
私は電位と起電力を同じようなものと考えていて、このことに困惑しています。
電位と起電力は同じ次元で逆符号なのでしょうか？周回積分が辻褄をあわせているのでしょうか？

とても基本的でバカな質問と思いますが、どうかよろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 

  うーん、なんだか
  ∫(- E)dx （時計回りに一周) = ∫ (E)dx (反時計回りに一周)
  になるような気もしてきましたね…

    補足日時：2015/08/12 13:56

• 

  あっお礼の2式目は間違ってますね
  -grad Vemf = -E
  となるのか…

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/08/12 14:12

No.5 回答者： deno 回答日時： 2015/08/27 17:41

○ご質問は発電機と負荷とが繋がれた場合と見なしてよろしいでしょうか．発電機の近くでは磁場が変化しています．動電磁場と考えると，全空間で電位Vを定義することはできません．

○全体として動電磁場ですが，ファラディの法則は常に成り立ちます．
∫E dx＋dΦ/dt=0
○積分路は発電機も負荷も合わせた一つの回路です．Φはこの回路を貫く磁束全体です．積分路は三つに大別できます．発電機の部分，負荷の部分，それからこれらをつなぐ導線部分です．それぞれ添え字G，L，Cと表すことにしますと，
∫(G)E dx＋∫(C)E dx＋∫(L)E dx＋d(Φ(G)＋Φ(other))/dt=0
です．
○まず，発電機以外の部分では，磁場はないとすると
Φ(other)=0
○動電磁場とはいえ，発電機から離れた場所では磁場の変化はほとんどないと考えることができ，電位Vを考えることができます．負荷の端子電圧V(L)を電流とは逆向きに定義すると，
V(L)＝－∫(L)E dx
となります．
○導線の内部の電場は殆ど0で，積分値も0ですから，
∫(C)E dx＝0．
○以上から，
V(L)＝∫(G)E dx＋dΦ(G) /dt
が得られます．右辺は，発電機内部の電場の積分値と磁束の変化率としての誘起起電圧(力)の和であり，これは発電機の端子電圧V(G)と解することができます．つまり，
V(G)＝∫(G)E dx＋dΦ(G) /dt
です．
○ところで発電機内部とはいえ，導線の内部の電場は殆ど0ですから，
∫(G)E dx＝0．
○したがって，
V(G)＝dΦ(G) /dt
つまり，発電機の端子電圧は，磁場の変化による誘起起電圧(力)によるものと理解することができます．

No.4 回答者： jkallnight 回答日時： 2015/08/20 23:19

通常Eは

-gradV=E
でよく定義されます
つまり両辺積分して
-∫gradVdr=∫Edr=V(2点間の電位差)
で定義します

V = -dΦ/dt
=-d/dt(∫B・nda)
=∫E・ds
このとき積分経路の方向と曲面の向きが重要ですにとります。つまり、積分経路をＥがたどっていく方向によってはマイナスが積分記号の前に付きます。回路を貫くΦの向きを右ねじの先端向きとしたとき、右回り経路なら、
V = -dΦ/dt
=-∫E・ds
左回り経路なら
V = -dΦ/dt
=∫E・ds
このときVはいずれも正になります

1.4場の方程式の積分形も参照
http://www.geocities.jp/a5310079/Electromagnetic …

No.3 回答者： uen_sap 回答日時： 2015/08/18 13:23

プラスマイナスは定義された（する）方向向きが変われば変わります。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/08/12 14:31

〉電場が打ち消されてしまったら電流が流れないのでは？

導体(コイル)の中では限り無く0に近くてよいです。
導体内でー定速度で電流が流れるとはそういうことですよね。

コイルに負荷が繋がっているというモデルで考えてます。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/08/12 11:30

う～ん、周回積分するとゼロにはならないので

全体としては電位という概念は成り立ちませんが
、起電力は発電機内の電界を打ち消す逆電位
と考えれば辻褄は合います。

つまり、つまり外部からの電圧降下による電界に
逆らう電界。これがないと外部からみた電位差に逆らって
発電器内に電流が流れることが出来ません。
なので外部の電位差とは逆符号の電界になるのです。

この回答へのお礼

ひょっとしたら誤解させてしまったかもしれません。
私たちはいま、固定されたリング（コイル？）を貫く磁束の数が変化している場合を考えています。

そこに電流が流れる以上、電子はローレンツ力 F = q( E + v×B)を受けるが、リングが動かないので
電子は電場Eからの力を受けたと考えるほかない。これが回答者さんのおっしゃる発電機内の電界ですか？
これを打ち消す電場は -Eで、そいつの電位は
-∫(- E) dx = Vemf
となります。これは僕の質問文の4式目に一致しますね。
Vemfという電位（もはやスカラーポテンシャルとしての資格を失っている）が作る電場を考えると
-grad Vemf = E
となるでしょう。これが、電子に力を及ぼしている電場ですか？

つまり、電流を流れるには電場が要ります。これをEとします。
これを打ち消す電場は -Eでそれの電位がVemf。Vemfの作る電場がE？
というか電場が打ち消されてしまったら電流が流れないのでは？

お礼日時：2015/08/12 14:08