確率

A、Bが試合を続けて行い、先に3勝したものを勝者とする競技を行った。Aが勝者となる確率はいくらか。ただし、A、Bがこの試合に勝つ確率は共に1/2とし、引き分けの試合はないものとする。

お願いします。

No.7 回答者： oshiete_bitte 回答日時： 2015/09/16 08:39

２チームしかないのですから、どちらかが必ず勝者と成る。

よって、確率は２分の１。

No.6 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/09/12 17:05

nＣrp^r(1-p)^(n-r)

の応用問題になるかと思いますが・・・。

Ａが勝者となるのは、
(i)　Ａが３勝（０敗）で勝者になる。
(ii)　Ａが３勝１敗で勝者になる。
(iii)　Ａが３勝２敗で勝者になる。
の３つの場合がある。

(i) の場合の確率は
(1/2)^3=1/8

(ii) の場合の確率は
3Ｃ2(1/2)^2(1/2)×(1/2)=3･(1/4)･(1/2)×(1/2)=3/16

(iii) の場合の確率は
4Ｃ2(1/2)^2(1/2)^2×(1/2)={(4･3)/(2･1)}･(1/4)･(1/4)×(1/2)=3/16

(i)、(ii)、(iii) より、求める確率は、
(1/8)+(3/16)+(3/16)=8/16=1/2　・・・・・（答）


この問題で、注意するのは、 (ii) と (iii) の場合です。

(ii)　Ａが３勝１敗で勝者になる。
この場合の確率は
4Ｃ3(1/2)^3(1/2)
ではありません。

この確率には
１２３４
ＡＡＡＢ
の場合も含まれています。
これだと、Ａが３試合で勝者になり、４試合目が行われません。

『 Ａが３勝１敗で勝者になる。 』
というのは、
《　４試合目　》　に　《　Ａが勝って(Ａにとって、3勝目の勝ち)　》　Ａが勝者になる。
ということです。
ですから、
それまでの３試合で、Ａが２勝していなければなりません。
つまり、
『 はじめの３試合で、Ａが２勝１敗して、４試合目にＡが勝つ 』
場合です。

この、　『 はじめの３試合で、Ａが２勝１敗する 』　確率が
3Ｃ2(1/2)^2(1/2)
であり、　『 ４試合目にＡが勝つ 』　確率が
1/2
であるから、
『　Ａが３勝１敗で勝者になる。　』　確率は、
3Ｃ2(1/2)^2(1/2)×(1/2)
になります。


同じように考えると、
(iii)　『　Ａが３勝２敗で勝者になる。　』
　　　　　↓↓↓
《　５試合目　》　に　《　Ａが勝って(Ａにとって、3勝目の勝ち)　》　Ａが勝者になる。
　　　　　↓↓↓
それまでの４試合で、Ａが２勝していなければならないから、
『 はじめの４試合で、Ａが２勝２敗して、５試合目にＡが勝つ 』
　　　　　↓↓↓
『 はじめの４試合で、Ａが２勝２敗する 』　確率が
4Ｃ2(1/2)^2(1/2)^2
で、　『 ５試合目にＡが勝つ 』　確率が
1/2
　　　　　↓↓↓
『　Ａが３勝２敗で勝者になる。　』　確率は、
4Ｃ2(1/2)^2(1/2)^2×(1/2)
となります。

だから、これも、　5Ｃ3(1/2)^3(1/2)^2　ではありません。


最後の１試合を切り離して考えればいいと思います。

nＣrp^r(1-p)^(n-r)
をうまく使いこなして下さい。

No.5 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2015/09/12 15:13

その問題は、文章が正しければ計算する必要なし。

「A、Bがこの試合に勝つ確率は共に1/2」
ですから「Aが勝者となる確率は1/2」
これ以外だと最初の「A、Bがこの試合に勝つ確率は共に1/2」と矛盾する。

No.4 回答者： puyo3155 回答日時： 2015/09/12 14:39

No3です。

少し前に、５本のくじの中に当たりが２本入っており，５人が順番にくじを引いていくとき、１番目から５番目の人間それぞれの当たりくじをひく確率なども同じで、５人が一列に並んでいて、神様がランダムに、ボールを５つのどこか２つに置く。と考えれば、確率はどれも同じ２/5 になります。そうやって運命が決まったあと、人がたまたま、その結果を順番に見ているとすれば、計算しなくても確率はわかります。

別の例で、１００本に１本だけ、当たりくじがあるとき、何番目に引くのが有利か？というのも、神さまが、どこかにあらかじめ当たりくじをランダムに置く・・・と考えれば、計算せずに、誰しも同じ確率とすぐわかります。

いつも使える手ではありませんが、順番に引くという事実に惑わされると、意味のない場合分けに時間をとられることになります。５本のくじなら、場合分けを書き出す力技もありますが、１００本や１０００本なら、不可能です。別の発想も役に立つことが多いものです。

No.3 回答者： puyo3155 回答日時： 2015/09/12 00:43

引き分けなしで、お互い試合に勝つ確率が同じ 1/2 なのだから、計算しなくても、勝率は五分五分、つまり１/2 でしょう。

No.2 回答者： soixante 回答日時： 2015/09/11 18:57

最大でも５試合、最短で３試合。

a. ３試合のとき
AAA
(1/2)^3=1/8

b. 4試合のとき
Aが３勝、Bが一勝。
AABA
ABAA
BAAA
の３通り。
一番後ろは必ずＡになる。
したがって、前３つの並べ方。
３つのますに、ひとつのBを置く。
3通り。
(1/2)^4*3=3/16

c. ５試合のとき
Aが３勝、Bが２勝
一番後ろは必ずＡになる。
したがって、前４つの並べ方。
４ますの中に、２つのBを置く。
2つのBは区別されないから、2で割る。
4C2/2=6通り。
AABBA
ABABA
ABBAA
BBAAA
BABAA
BAABA
(1/2)^5*6=6/32=3/16

a,b,c を足す。
1/8 + 3/16 + 3/16= 8/16 =1/2

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/09/11 17:31

1/2 かな.