テンソル積について

テンソル積について勉強しています。

１，複素数体をＣとしたとき、Ｃ上のテンソル積について
　　　Ｃ＊(Ｃ) Ｃ≡Ｃ
２，また、実数体をＲとしたとき、Ｒ上のテンソル積について
　　　Ｃ＊(Ｒ) Ｃ≡Ｃ(＋)Ｃ≡Ｒ(＋)Ｒ(＋)Ｒ(＋)Ｒ
が成り立つ、と読んだ説明文に書いてありました。
(ただし、複素数体Ｃ上のテンソル積を ＊(Ｃ) と表すこととし、(＋)で直和、≡で同型を表すこととします。)

どこの上でのテンソル積を考えるかによって、係数環(体)が変わることはわかるのですが、具体的に、上のような簡単な例についてでさえも、何がどうなっているのかよくわかっていません。

特に「上の２つの例の意味の違い」と、「直和と直積の違い(右辺が直積ではなく直和で書かれている理由)」について、お教え頂ければ、大変有り難く存じます。
何卒よろしくお願いいたします。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2015/09/20 00:34

複素数p,qの「積」は複素数だが、複素数を実数の対だと思うとp=(a,b)とq=(c,d)の「積」(ac, ad, bc, bd)は実数の4つ組になる、という話でしょ。

この回答へのお礼

お教えいただき、ありがとうございます。

ということは、Ｒ上のテンソル積であれば、「Ｒ上何次元の組ができるか？」というように考えてよいということですか？

また、おそらくこのようなときは、直和で右辺を表せばよいというのは、多くの文献がそうなっているのでそうするべきであるというのはなんとなくわかりますが、明確な直和と直積の使い方の違いなどはあるのでしょうか？

お礼日時：2015/09/21 17:11

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2015/09/23 21:17

ANo.1へのコメントについてです。

> 直和と直積の使い方の違い

　集合の直和(disjoint union)とは別の概念だということはお分かりだと思います。
　スカラーを有理数Qとする、A∩B = {0}であるベクトル空間A, B、たとえばA = {q| q∈Q} と B = {q√３ | q∈Q}を考えると、これらを組み合わせてベクトル空間
　　X={a+b|a∈A ∧ b∈B}
を作ると思えば直和(direct sum)だし、単に順序対の集合
　　Y={<a,b>|a∈A ∧ b∈B}
を作ると思えば直積（もちろん、直積の場合にはA, Bがどんな集合であっても構わない。）
　で、ご質問は「（ベクトルを成分の順序対<a,b>で表現するのを「当然」だと思うと、）どっちも同じに見えてしまう」ということであろうかと思います。Xの上での足し算+（この例では実数の足し算）と、Yの上での足し算+'（成分ごとに、実数の足し算をしたもの; <a,b>+'<c,d>=<a+c,b+d>）との、定義の違いがポイントですね。

この回答へのお礼

とてもよくわかり、大変勉強になりました。
丁寧にお教えいただき、本当に有難うございました。

お礼日時：2015/09/23 21:25