![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?5a7ff87)
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>Z/(a)が単項イデアル環であることとIが単項イデアルということは同値なのはなぜですか?
同値というのは意味不明ですが,IはZ/(a)の任意のイデアルとしたのですから,それが単項ならZ/(a)は単項イデアル環です。(定義ですね。)
>なぜJがイデアルならばIが単項イデアルなことがいえるのでしょうか?
Zは単項イデアル環ですから,Jがイデアルであることさえ言えれば,Jは単項イデアルです。I=f(J)なのですから,そのときIも単項イデアルです。
この回答への補足
一応証明したのですが、どこでaが効いてくるのかがわかりません。
自分の証明:(1)x、y∈Jとして、f(x+y)=f(x)+f(y)∈I(なぜなら、x、y∈Jより、f(x)、f(y)∈I、Iはイデアル)よってx+y∈J
(2)x∈Z、y∈Jとして、f(xy)=f(y)+f(y)+f(y)+・・・・+f(y)(全部でxこ)∈I。よってxy∈J
これより、Jはイデアル。よってこれは単項イデアルであり、fは全射より、f(J)=Iで、Iも単項イデアル。ゆえに、任意のイデアルが単項イデアルより、Z/(a)は単項イデアル環。
てなかんじなんですが、どうでしょうか?
No.2
- 回答日時:
質問文の後半で述べていることですが,集合としてa+(a)と(a)は同じものですから,証明になっていないのではないでしょうか。
剰余類群を論じるときは,集合を丸ごと考えるのではなく,代表元を考えるのが基本です。IをZ/(a)の任意のイデアルとして,fによるその逆像(Zの部分集合)をJとします。すなわち
J={n∈Z|f(n)∈I}
Zは単項イデアル環であることはわかっていますから,Iが単項イデアル環であることを示すには,Jがイデアルであることを示せば十分です。
この回答への補足
回答ありがとうございます。
質問ですが、なぜJがイデアルならばIが単項イデアルなことがいえるのでしょうか?また、そもそもZ/(a)が単項イデアルであることとIが単項イデアルということは同値なのはなぜですか?すみません、おねがいします。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 分からない課題で困っています。 どなたか、教えてください。 変数多項式環R[x]からRに対して φ: 2 2022/07/06 11:28
- 数学 素イデアルに関する証明 2 2023/01/15 20:26
- 数学 全射の証明について 3 2023/08/26 14:06
- 数学 Ac:={bc│bc∈A}が左イデアルであることを示せ。 3 2023/01/24 17:00
- 数学 イデアルの核について 1 2023/01/15 20:15
- 数学 単純環 1 2023/06/18 00:53
- 数学 二次体K=Q(√-31)について、整数環O_Kにはノルムが3となるイデアルは存在しないことを示せ。 4 2022/12/02 22:47
- 数学 代数学 原始多項式について 3 2022/06/24 19:06
- 数学 素イデアル 1 2023/07/22 16:12
- 数学 【圏論】モノイドにおける恒等射について 8 2022/06/09 23:52
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
∈と⊂の違いは何ですか?
-
数学で、数字の上にある横線の意味
-
要素と、部分集合の違いを教え...
-
R\\{0} って、0を除く実数って...
-
数学の集合で閉じているの意味...
-
部分が全体に等しいのが無限で...
-
数字の上のバー
-
順列組合せについて
-
数学でのセミコロンについて
-
Rの半開区間(0,1]と開区間(0,1)...
-
A∩BとAかつBは意味が違うのでし...
-
ここに書かれている 自然に同一...
-
自身への写像が全単射となるこ...
-
数字は存在するのか
-
数学の確率で、集合Xを「事象A...
-
偶数≠奇数の判定はどうやるのか?
-
⊆この記号の意味は?
-
ACCESSのSQL
-
_ a aの上に書かれている_(ア...
-
1桁の自然数全体を全体集合Uと...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
∈と⊂の違いは何ですか?
-
要素と、部分集合の違いを教え...
-
数学でのセミコロンについて
-
集積点が、まったく分かりませ...
-
数学で、数字の上にある横線の意味
-
偶数≠奇数の判定はどうやるのか?
-
数字は存在するのか
-
高1数学
-
6以下の自然数全体の集合の要素...
-
1から100までの自然数で、3,4,5...
-
R\\{0} って、0を除く実数って...
-
数字の上のバー
-
∈ と ⊂ のはっきりとした違い
-
空集合のべき集合
-
次の説明は「急速に減少✨️しな...
-
有理数÷有理数は絶対有理数なん...
-
部分が全体に等しいのが無限で...
-
数学の集合で閉じているの意味...
-
高校1年の数学Aです。 この、ピ...
-
言語の無限性に関してお考えを...
おすすめ情報