電磁気の無限長導体

電磁気の問題で行き詰まってます。
無限に長い半径aの円筒導体を一様な定常電流が流れていると設定されていて、全電流がIです。
中心から同心円の閉曲線C（半径r<a）で磁束密度B＝μIr/2πa^2は既に出ています。
このBを使ってストークスの定理が成立することを示したいのですが、線積分側（インテグラルB・dl）はμIになったのに面積分側（インテグラル（rotB・dS））がμI/2になって両辺一致しません。
類似のテキストを見るとおそらく両辺μIになるはずで、面積分側インテグラルdSがπa^2ではなく2πa^2になるのではないかと思います。
類似のテキストでは電流密度Jを出すのにJ＝I/2πa^2としていたためそう思いました。
しかし閉曲線C内の面積は当然円の面積ですのでπa^2だと思うんですが、この係数２はどこから来たのでしょう？
あるいは別の場所に間違いがあるのでしょうか。教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2015/10/15 09:52

具体的に書かれていませんが，rot B の計算に誤りがあるのではないかと思います．

また，どういう面と閉曲線でストークスの定理を調べるのかを明確にしないといけません．

磁束密度 B はベクトルですので (→B) と書くことにして，
r, θ，z 成分表示で
(1)　　(→B) = (B_r，B_θ，B_z)
とします．
今の(→B)は同心円状ですから
(2)　　B_r = 0
(3)　　B_θ = μIr/2πa^2
(4)　　B_z = 0
です．
ただし，0≦r≦a です(円柱内部)．

円柱座標での rot は
(5)　　{rot(→B)}_r = (1/r){∂B_z/∂θ - ∂B_θ/∂z}
(6)　　{rot(→B)}_θ = {∂B_r/∂z - ∂B_z/∂r}
(7)　　{rot(→B)}_z = (1/r){∂(rB_θ)/∂r - ∂B_r/∂θ}
ですから，これに(2)～(4)を代入して計算すると
(8)　　{rot(→B)}_r = 0
(9)　　{rot(→B)}_θ= 0
(10)　　{rot(→B)}_z = μI/πa^2
になります．
面積分の S を円柱軸に垂直で円柱軸を中心とする半径 r (0≦r≦a)の円内部，
線積分の C をその縁とします．
線積分は
(11)　　∫_C (→B)・d(→l) = ∫_C B_θ dl = μIr^2/a^2
面積分は
(12)　　∫_S rot(→B)・d(→S) = ∫_S {rot(→B)}_z・dS_z = μIr^2/a^2
で，両者はめでたく等しくなります．
Ir^2/a^2 は半径 r の円の内部を流れる電流に他なりません．
質問者さんが計算しようとしたのは r = a の場合ですね．

誤りの原因ですが，
質問者さんは rot(→B) の計算を ∂B_θ/∂r としてしまったのではないでしょうか．

また
> 類似のテキストでは電流密度Jを出すのにJ＝I/2πa^2としていたためそう思いました。
は何かの間違いのように思えます．
半径 a の円柱の内部を一様に電流が流れていれば，電流密度は明らかに I/πa^2 です．

なお，この話を直線電流でやろうとすると r=0 で特異性が出るため少し面倒になります．

この回答へのお礼

ありがとうございました。
rotの計算間違いでした。
大変詳しく書いてくださったのでベストアンサーにさせていただきます。

お礼日時：2015/10/15 10:59

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2015/10/15 09:47

rotBはどのような値になりますか?

rotBをB＝μIr/2πa^2から計算してみるとよいと思います。

他の部分では
J=I/(πa^2)
です。"2"は付きません。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
おっしゃる通りrotの変数を定数と勘違いした計算間違いでした。

お礼日時：2015/10/15 10:56