数学です。

次の問題がわかないので解説お願いします。
三角形ABCにおいて、2cosA+cosB+cosC=2が成り立っている時、次の問いに答えよ。
(1)a.b.c.の間に2a=b+cが成り立つことを示せ
(2)さらに、cos^2A+sinBsinC=1であるとき三角形ABCはどんな三角形か？
お願いします

No.3 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/10/23 23:47

なるほど・・・。

Ｎｏ．１　の回答が誤りでした。

a＝b　を　ｂｃ=a^2　・・・・・②
に代入して
ａｃ＝ａ^2
ａ＞０　より　両辺を　ａ　で割って
ｃ＝ａ

したがって、三角形ＡＢＣは　正三角形　である。

No.2 回答者： hiccup 回答日時： 2015/10/22 17:58

(1) は第一余弦定理を使ってよいなら計算は楽なんだけど・・・

２つ使う。

b cosA + a cosB = c
c cosA + a cosC = b


それと (2) だけど、出てくる条件は、数列 b, a, c は等差数列であり等比数列でもあるとも読めるから、二等辺三角形では弱いと思うなあ。

No.1 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/10/20 23:29

次の問題がわかないので解説お願いします。

三角形ABCにおいて、2cosA+cosB+cosC=2が成り立っている時、次の問いに答えよ。
(1)a.b.c.の間に2a=b+cが成り立つことを示せ

余弦定理を使って、
2cosA+cosB+cosC=2
2×{(b^2+c^2－a^2)/2bc}＋{(c^2+a^2－b^2)/2ca}＋{(a^2+b^2－c^2)/2ab}＝２
両辺に　2abc　をかけて
2a(b^2+c^2－a^2)＋b(c^2+a^2－b^2)＋c(a^2+b^2－c^2)＝4abc
2ab^2+2ac^2－2a^3+bc^2+a^2b－b^3+a^2c+b^2c－c^3＝4abc
2a^3－a^2(b+c)－2a(b^2－2bc+c^2)+b^3－b^2c－bc^2+c^3＝０
2a^3－a^2(b+c)－2a(b－c)^2+b^2(b－c)－c^2(b－c)＝０
2a^3－a^2(b+c)－2a(b－c)^2+(b－c)(b^2－c^2)＝０
2a^3－a^2(b+c)－2a(b－c)^2+(b+c)(b－c)^2＝０
a^2{2a－(b+c)}－(b－c)^2{2a－(b+c)}＝０
{2a－(b+c)}{a^2－(b－c)^2}＝０
{2a－(b+c)}{a+(b－c)}{a－(b－c)}＝０
{2a－(b+c)}(a+b－c)(a－b+c)＝０　・・・・・①

ここで、三角形の２辺の長さの和は、残りの辺の長さより大きいから、
a+b－c>0,　a－b+c>0
したがって、①より
2a－(b+c)＝０
よって、
2a＝b+c　・・・・・①


(2)さらに、cos^2A+sinBsinC=1であるとき三角形ABCはどんな三角形か？

正弦定理を使って、
三角形ABCの外接円の半径をRとすると、
cos^2A+sinBsinC=1
１－sin^2A+sinBsinC=1
1－(a/2R)^2+(b/2R)×(c/2R)＝１
両辺に　4R^2　をかけて
4R^2－a^2+bc＝4R^2
ｂｃ=a^2　・・・・・②

①より
c＝2a－b　・・・・・①’
②に代入して
b(2a－b)＝a^2
2ab－b^2＝a^2
a^2－2ab+b^2＝０
(a－b)^2＝０
a－b＝０
a＝b

したがって、三角形ABCは　ＡＣ＝ＢＣ　の二等辺三角形　である。

となりました。
（１）　の因数分解が大変だと思いますが、　ａについて降べきの順に並べて　式変形をしていってください。