【代数学】正三角形の二面対群D6の説明

【問題】
正三角形の二面対群D6とはどのような群なのか説明せよ。
また、サイズ３の部分群をすべて求めよ。

【回答】
二面対群であるということは、対称変換のなす群であるということである。
つまり、変換によって図形は形を変えない。
正三角形は、三つの鏡映に対応する回転s1,s2,s3と、2π/3、4π/3の対称回転、eの恒等変換の六つの対称回転を行う。
2π/3、4π/3の対称回転は、2π/3をrとし、それぞれr,r^2で表す。
これら、s1,s2,s3,r,r^2,eの対称回転の組み合わせによって構成される群が、D6である。

三角形の頂点をA,B,Cとし、それぞれの対称回転によって頂点の位置がどのように変化するかを考える。
s1
(A,B,C)→(A,C,B)
s2
(A,B,C)→(C,B,A)
s3
(A,B,C)→(B,A,C)
r
(A,B,C)→(C,A,B)
r^2
(A,B,C)→(B,C,A)
e
(A,B,C)→(A,B,C)

位数とは、n回繰り返して最初に戻る数のことである。
よって、
eは位数1
s1,s2,s3は位数2
r,r^2は位数3
であることがわかる。


以上の答案で、この問題は正解でしょうか？
添削をお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2015/11/08 05:14

OKだと思います。

ただ、

> 三つの鏡映に対応する回転
> それぞれの対称回転

　なんでもかんでも「回転」と呼ぶ流儀があるのかどうか知らないが、まとめて呼ぶなら単に「変換」、区別するなら「回転変換・鏡映変換」とか言っとく方が無難な気がするなー。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/11/09 13:32

あれ?

「また、サイズ３の部分群をすべて求めよ。」に対して何も言っていないような気がするよ.

この回答へのお礼

本当だ。
その部分はクリアできたので、今回は「正三角形の二面対群D6とはどのような群なのか説明せよ。」だけ聞くつもりでした。
ご指摘ありがとうございます。

お礼日時：2015/11/11 16:52