数学の質問です！1辺の長さがaの正四面体ABCDに内接する球の中心をOとする(1)四面体OBC

数学の質問です！

1辺の長さがaの正四面体ABCDに内接する球の中心をOとする
(1)四面体OBCDの体積V'をaを用いて表せ

と言う問題なのですが、正四面体の頂点Aから底面の△BCDに垂線AHを下ろして正四面体ABCDの体積Vを求める手順までは分かるのですが、V'=1/4×Vで求めるのが意味わからないです。なぜV'がVの1/4になるのでしょうか？

どなたかご解説お願い致します！！

No.3 ベストアンサー 回答者： atuhur 回答日時： 2016/02/13 10:59

Oが円の中心になるので、円の面積は1/2（半径×半径×π）、体積はその２乗になるので「1/2×1/2＝1/4」になる。

球体の体積は4×π×半径×半径を理解して！
分かりにくいですが「π」一応「パイ＝3.14」のつもりです。

No.4 回答者： orkw4431 回答日時： 2016/02/13 21:06

対称性からです。

正四面体ABCD=四面体OABC+四面体OBCD+四面体OCDA+四面体ODAB
です。
また、四面体OABC、四面体OBCD、四面体OCDA、四面体ODABはどれも同じ体積です。
だから
正四面体ABCD=4×四面体OBCD
です。

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2016/02/13 10:40

OHの高さhが元の高さAHの1/4になるから・・!

No.1 回答者： イミダス 回答日時： 2016/02/13 09:22

正四面体に内接する球の中心だから、AHの中点ですよね。

中点だと、面積からすると1/2だけど、体積だと２乗して1/4になるのでは？