2個のサイコロを振って、「何回のうちに少なくとも1回6のぞろ目(2個とも6の目)が出るか」という回数を当てる遊びがある。勝率が1/2を超えるためには、何回以上に賭ける必要があるか。

という問題があるのですが、問題の意味がイマイチよく理解できないので、答えもさっぱり分かりません。分かる方はどうか教えてください。よろしくお願いします。

A 回答 (7件)

2個のさいころを投げて6ぞろめの出る確率は(1/6)^2=1/36


よって、1回の試行で6のぞろ目の出ない確率は35/36

例えば、n=1でかけると、
ハズレは35/36>1/2だから、適さない。

このことから予想すると、問題の言い換えは
「1回の試行で6のぞろ目が出る確率をAとする。
N回続けてAの起きない確率が1/2より小さくなるような最小のNを求めよ」
だと思います。多分、常用対数か何かが与えられているはずです。

(35/36)^N<1/2 より、両辺に常用対数をとる。
Xの常用対数をlogXとかくことにすると、
N(log35-log36)<-log2
ここで、常用対数の表(略)より、
log35=1.544 log36=1.556 log2=0.301 だから、
-0.002N<-0.301
N>150.0
よって、この不等式を満たす最小の整数は151

よって、151回が正解であるとみました。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。問題の大意はつかめました。

なるほどー!!このように解くのですね。高校でやったような気がします。本当にありがとうございました。

お礼日時:2001/06/19 10:27

失礼しました。

思い切り引っかけ問題に引っかかってしまいました(汗)。

masuo_kunさんの答えで正しいと思います。

1/36を足していくのは間違いです。
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masuo kunさんの答えで良いと思います。


単純に1/36の足し算ではありませんね。
これでは、36回振れば1回は6のぞろ目が必ず出る事になってしまいますが、
実際はそうとは限りませんね。
排反事象で考えると、6のぞろ目が出ない確率の積み重ねで
35/36+35/36+.....を繰り返して、1/2以下になればいいわけですから
masuo kunさんの言うように
(35/36)^n≦1/2 と、なり、
(log1/2)/(log(35/36))≦n
よって24.6≦nで、25回以上で勝率が1/2を越えます。
これで良いでしょうか?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。問題の大意はつかめました。

>単純に1/36の足し算ではありませんね。
これでは、36回振れば1回は6のぞろ目が必ず出る事になってしまいますが、
実際はそうとは限りませんね。

そうなんですよ!それで悩んでいたんです。masuo_kunさんもおっしゃられていましたが、このような場合は排反事象で考えるのですね。ご指導ありがとうございました!

お礼日時:2001/06/19 12:32

ミス発覚。

N>150.5 でした

あれれ?私難しく考えすぎたかな~~(^_^;)


でも、単純に1/36を足していくのって、ヤバくないですか?
2回さいころを振って、ちょうど1回Aの起きる確率は、
2×(1/36)×(35/36) ですよね。
2回共はもちろん、(1/36)~2
これの和だと思うのですが、気のせいですか?
ちなみに18回でかけたとき、負ける確率は
(35/36)^18=0.6022 だから、勝つ確率はまだ1/2に達していないと思います。


「3回、2個のさいころを振って少なくとも1回6ぞろ目の出る確率」
排反事象は「3回とも6ぞろ目が出ない」
だから、1-(35/36)^3 ですよね。
ってことはn回振って少なくとも1回ぞろ目の出る確率は
1-(35/36)^n
これが1/2より大きいから
1-(35/36)^n≧1/2

・・・・
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この回答へのお礼

わざわざありがとうございます。

対数の計算は、自分でじっくりやろうと思います。ご指導ありがとうございました。

お礼日時:2001/06/19 12:46

言い方を変えて、説明させていただきます。


1回で6のぞろ目が出る確率は、1/6×1/6=1/36です。
1回目かあるいは2回目に6のぞろ目が出る確率は、
1/36+1/36=2/36です。
1回目か2回目か3回目に(3回振る内に1回は)6のぞろ目が出る確率は、
1/36+1/36+1/36=3/36です。
このように考えると、1/2=18/36ですから、
18回で勝率1/2になります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。問題の大意は理解できました。

僕もまずはそのように考えたのですが、そんな単純な答えでいいのでしょうか。なんとなく不安です。18回で勝率1/2に達するということは、36回サイコロを振ったなかで18回も6のぞろ目が出るということですよね。そんな6のぞろ目ばかり出ますでしょうか・・・。(違っていたらすいません。確率苦手なもので・・・)

お礼日時:2001/06/19 07:56

問題を言い換えてみましょうか。


「サイコロを2個同時に振る。6のゾロ目が出るまでに何回振ればいいか」
というのを当てる遊びだということでしょう。

例えば「5回!」としたとき、5回振って一回6のゾロ目が出る確率は、
((1/6)×(1/6))を5回足した数値になります。すなわち5/36です。
では「n回」としたとき、n回振って一回6のゾロ目が出る確率は
 n/36
ですね。

これが1/2以上になればいいのですから・・・
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。問題の大意はつかめました。

僕もまずそう考えましたが、masuo_kunさんやchi--さんがおっしゃられているように、ただ1/36を足し算していくだけで良いのでしょうか。37回に一回6のゾロ目が出る確率は37/36で1を超えてしまいます。確率に1以上の数字ってあるのでしょうか。また36回振れば確率36/36=1になって必ず一回は6のゾロ目が出るのでしょうか。出ない場合もあるような気がするのですが・・・(違っていたらすいません。確率苦手なものですから・・・)

お礼日時:2001/06/19 08:21

サイコロは6面体なので、1個のサイコロを振って望みの目(たとえば6)が出る確率は1/6。


サイコロが2つになると、2つともが同じ望みの目で揃う(ゾロ目)確率は1/6の二乗。
1回振るごとに期待値は積算されていくので、それが1/2になるのが何回目かはおのずとわかると思うのですが…?

(1/2)÷(1/6)^2=?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。問題の大意はつかめました。

>1回振るごとに期待値は積算されていく・・・

この部分があまり良くわからないのですが、(すいません。勉強不足です。) つまり1回サイコロを振るたびに、6のゾロ目が出る確率1/36を足していくということですか?ということは、36回振れば必ず1回は6のゾロ目が出るということですよね。出ない場合もあると思うのですが・・・(違っていたらすいません。確率苦手なもので・・・)

お礼日時:2001/06/19 12:44

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(2)3回以上奇数の目が出る確率
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  4回出る確率 4C4(1/2)^4      3回以上出る確率は両者の和になる。

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以上

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>白玉1個出した後元にもどして、黒玉を2個出す場合と同じになって、
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Aベストアンサー

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(ウ)「8」「2」「10」が裏、「4」「6」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(エ)「8」「6」「2」が裏、「4」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(オ)「8」「2」が裏、「4」「6」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(カ)「8」「6」が裏、「2」「4」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(キ)「8」「10」が裏、「2」「4」「6」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(ク)「8」「4」が裏、「2」「6」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(ケ)「8」が裏、「2」「4」「6」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
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1個のサイコロを1回投げた場合に、奇数目がでること(事象A)と偶数目が出ること(事象B)とは独立ではないと思います。

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事象Aが起きたときには、P(A)=1、P(B)=0なので、P(A)P(B)=0である。
事象Bが起きたときには、P(A)=0、P(B)=1なので、P(A)P(B)=0である。
したがって、常にP(A)P(B)=0である。
一方、(A^B)=Φであるので、P(A^B)=0である。(^はキャップ記号だとします。)
したがって、P(A^B)=P(A)P(B)が成り立つので、事象Aと事象Bは独立である。

上の考えはどこが間違っているのでしょうか。


それと、ちゃんとしたキャップ記号はどのようにすれば入力できるのでしょうか。

Aベストアンサー

事象Aが起きたときに事象Bが起きる確率を、「条件付確率」といいます。
P_A(B) とか P(B|A) とかの記号で書き表すことが多いようです。
AとBが独立でも、独立でなくても、一般に
P(A∧B) = P(A)・P_A(B) が成り立ちます …というか、この式が
条件付確率の定義なんです。

当然、P_A(B) と P(B) は別のものです。この二つがたまたま一致する
P_A(B) = P(B) というのが、「AとBが独立」ということの定義です。
上の式と合わせると、独立 ⇔ P(A∧B) = P(A)・P(B) となりますね。

質問の例では、
  P(A∧B) = 0  ; 同時に偶数かつ奇数がでることはない
  P(A) = 1/2   ; サイコロで奇数がでる確率
  P(B) = 1/2   ; サイコロが偶数がでる確率
なので、
P(A∧B) = 0 ≠ 1/4 = P(A)・P(B) によって、AとBが独立でない
ことが示せるのです。

貴方が計算した
  事象Aが起きたときには、P(A)=1、P(B)=0
  事象Bが起きたときには、P(A)=0、P(B)=1
は、正しくは、順に
  P_A(A) = 1
  P_A(B) = 0
  P_B(A) = 0
  P_B(B) = 1
であって、P(A) や P(B) ではありません。

一番上の式によって、P_A(B) = 0 から P(A∧B) = 0 が導けますから、
貴方は、実は、AとBが背反であることを示していたことになります。

事象Aが起きたときに事象Bが起きる確率を、「条件付確率」といいます。
P_A(B) とか P(B|A) とかの記号で書き表すことが多いようです。
AとBが独立でも、独立でなくても、一般に
P(A∧B) = P(A)・P_A(B) が成り立ちます …というか、この式が
条件付確率の定義なんです。

当然、P_A(B) と P(B) は別のものです。この二つがたまたま一致する
P_A(B) = P(B) というのが、「AとBが独立」ということの定義です。
上の式と合わせると、独立 ⇔ P(A∧B) = P(A)・P(B) となりますね。

質...続きを読む


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