分母の項数が４つの有理化

４/１＋√３＋√６＋２√２　を有理化せよという問題がありました。
似たような質問を見ましたが解けませんでした。
急ぎではありませんが、どなたか回答お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/04/19 00:08

努力と根性があるなら分子と分母に

1 ± √3 ± √6 ± 2√2
という形の値 (ただし １＋√３＋√６＋２√２ を除く) を全て掛ければ必ず有理化できます.

と一般論を書いておくけどこの場合は
1 + 8 = 3 + 6
を使うと簡単.

この回答へのお礼

最後のヒントの通りに解いたら出来ました。ありがとうございました。他の方も回答ありがとうございます。式の書式の訂正をしてくださった方もありがとうございます。

お礼日時：2016/04/19 00:58

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2016/04/19 00:45

ん？

4/1 + √3 + √6 + 2√2
= 4 + √3 + √6 + 2√2

で、有理化の必要はありません。

おそらく、

　4/( 1 + √3 + √6 + 2√2 )　　　（１）

かと思いますが、だとすると質問文の式の書き方は不正確です。分母の範囲を、明確に「カッコ」で示しましょう。そうでないと、加減算は後回しで実行するのが約束事です。

　（１）が対象であれば、下記のようになります。
　とにかく、ひたすら、愚直に
　A/(B + C)
= A(B - C) / [ (B + C)( B - C) ] 　　←分子分母に (B - C) をかける（＊）
= A(B - C) / (B² - C²) 　　　← B²、C² でルートを外す
をやればよいのです。ルートの付いたものがたくさんあっても、これを何回か繰り返せば有理化できます。

　4/( 1 + √3 + √6 + 2√2 )
= 4/[( 1 + √3 ) + √2 * ( 2 + √3 ) ]　　←適当に2グループに分ける
= 4 * [( 1 + √3 ) - √2 * ( 2 + √3 ) ] / {[( 1 + √3 ) + √2 * ( 2 + √3 ) ]*[( 1 + √3 ) - √2 * ( 2 + √3 ) ] }　←（＊）
= 4 * [( 1 + √3 ) - √2 * ( 2 + √3 ) ] / [( 1 + √3 )^2 - 2 * ( 2 + √3 )^2 ]
= 4 * [( 1 + √3 ) - √2 * ( 2 + √3 ) ] / [( 1 + 2√3 + 3 - 2 * ( 4 + 4√3 + 3 ) ]
= 4 * [( 1 + √3 ) - √2 * ( 2 + √3 ) ] / ( -10 - 6√3)
= -2 * [( 1 + √3 ) - √2 * ( 2 + √3 ) ] / ( 5 + 3√3)
= -2 * [( 1 + √3 ) - √2 * ( 2 + √3 ) ] * ( 5 - 3√3) / [ ( 5 + 3√3)( 5 - 3√3) ]　　　　←（＊）
= -2 * [( 1 + √3 ) - √2 * ( 2 + √3 ) ] * ( 5 - 3√3) / ( 25 - 27 )
= [( 1 + √3 ) - √2 * ( 2 + √3 ) ] * ( 5 - 3√3)
= 5 + 5√3 - 10√2 - 5√6 - 3√3 - 9 + 6√6 + 9√2
= -4 - √2 + 2√3 + √6

かな？　式の途中で間違えているかもしれないので、検算しながら確認してください。

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2016/04/19 00:26

すみませんが、分子を書くのがめんどくさいので、分母だけ書きますね。

分子と分母に　（１＋√３）ー（√６＋√８）　をかけて
（１＋√３）^2　＋（√６＋√８）^2
　＝　（１＋２√３＋３）＋（６＋２√４８＋８）
　＝　（４＋２√３）＋（１４＋２√４８）
　＝　１８＋２√３＋８√３
　＝　１８＋１０√３
　＝　２（９＋５√３）
　＝　２（９＋√４５）

次に分子と分母に　９－√４５　をかけて
２（９^2＋√４５^2）
　＝　２（８１＋４５）
　＝　２×１２６