点と平面の距離の算出

仕事の関係で急に空間図形の処理をしなければ
いけなくなりました。

点(xf,yf,zf)が乗っている平面F（ax+by+cz+d=0）があり、
点M（xm,ym,zm）の方向余弦が（l,m,n）だった場合、
平面Fと点Mの距離を求めるためにはどうしたら
いいのでしょうか？

単純に点Mと平面Fとの最短距離を求めるだけなら
垂線をひっぱって内積の関係を使ったりすれば
できるかもしれませんが、方向余弦がからんでくると
もうよくわかりません…
簡単な問題なのかもしれませんが、
数学から離れてずいぶんたちますので
どなたかお力を貸してくださると助かります。
よろしくお願いします。

No.1 回答者： thetas 回答日時： 2004/07/16 03:05

平面Ｆと点Ｍの距離は、

　{(平面Ｆ上の点Ｐ)と点Ｍの距離}の最小値
となると思います。

そのため、点(xf,yf,zf)や方向余弦(l,m,n)は無関係に、距離はa,b,c,d,xm,ym,zmの文字で表すことができると思います。

ただ、点の方向余弦とは、どのような意味なのでしょうか？

補足をお願いします。

この回答への補足

<a href="http://marimo-exp.no-ip.com/trash/question.gif">図</a>

説明が下手なので図を描いてみました。
もう少し問題を具体的に示すと…

v0,v1,v2,v3で作られる面Ｆがあります。
それとは別に点Ｍがあります。
この点Ｍを通り方向余弦（l,m,n）である直線を
引っ張るとすると、それが面Ｆと衝突します。
衝突した時の、点Ｍと面Ｆの距離を求めたい、
ということです。
方向余弦については、

直交座標系ＸＹＺで原点からある方向に向いた直線が、

Ｘ軸の正の向きと作る角を ａ
Ｙ軸の正の向きと作る角を ｂ
Ｚ軸の正の向きと作る角を ｃ

とするとき、
Ｌ＝ｃｏｓａ　Ｍ＝ｃｏｓｂ　　Ｎ＝ｃｏｓ c

と表される３つの値を方向余弦（Ｌ，Ｍ，Ｎ）と呼ぶ。

という意味だと考えています。
残念ながら自分自身の力が足りなくて
補足になっているかわかりませんが、
力を貸していただけるとうれしいです。

補足日時：2004/07/16 22:42

No.2 ベストアンサー 回答者： zaki_shin 回答日時： 2004/07/21 16:28

横から失礼します。

(x0,y0,z0)を通り、方向ベクトル(a,b,c)な直線の方程式は、
(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/cと表すことができます。
なので、この直線と平面の交点を出して、（x0,y0,z0)とその点の距離を求めてやれば良いと思います。