無限平面上を一方向に単位長さあたりjの面電流が流れているとき、平面から距離aの点における磁束密度を求

無限平面上を一方向に単位長さあたりjの面電流が流れているとき、平面から距離aの点における磁束密度を求めよ、という問題の解説をお願いします。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/11/05 22:25

(1) z=0 の平面に、(-x)方向の一様な面電流 i[A/m]が流れている

　としても一般性は失わない。

(2) 概略の考察から、左右の電流により、z方向の磁界は打ち消し、
　y方向に一様な磁界が生じることが推測できる。そして、z=0の
　面の上下で方向が反転することもわかる。

　まず、磁界をH(x,y,z) とすると、x,yの位置を変えても、iの分布
　は変わらないから Hはzのみの関数である。つまり、
　　　H=H(z)

(3) つぎに、この物理系をそのままに Z軸を中心に180゜回転する
　と、i→(-i) となるが、磁界の内、Hz(z) は同じ方向のまま移動す
　るから、変わらない。

　そこで、この２つの物理系を重ね合わせると、磁界の合計は
　　　2Hz(z)
　となる。そして、電流は (i-i)=0 となる。つまり、この合わせた
　系の磁界は0である。したがって、
　　　2Hz(z)=0 → Hz(z)=0・・・・①

(4) つぎに、ビオ・サバールの法則から、x方向の電流からは x方
　向の磁界は無い。したがって、
　　　Hx(z)=0・・・・・・・②

(5) 最後に残った、Hy(z)を決定する。X軸を中心に180゜回転する
　と、電流分布は変わらず、Hy(-z)が反転して、Hy(z)の位置に来
　る。つまり、これらは等しく、方向が反対で
　　　　　Hy(z)=-Hy(-z)・・・・・③
　　である。

　つぎに、x=一定として、z=z>0, z=-z の辺をとり、電流 iを含
　むようにYZ平面に四角形のループをとる。すると
　　　　Hy(z)(-L) + Hy(-z)(L)=iL
　上の③を使うと
　　　　Hy(z)=-Hy(-z)= -i/2
　をえる。つまり、Hyは座標 zによらず、一定であり、zの正負で
　方向を反転する。

(6) 以上をまとめると、
　　　Hx=Hz=0 , Hy=-i/2(z>0), Hy=i/2(z<0)