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半径R = 2.0mm の円柱状の導線がある.電流密度は円柱の底面に平行な断面のいたるところで一様で,i= 2.0 × 10^11 A/m^2である.断面の外側の半径R/2からRの間を流れる電流を求めなさい.

この問題の解き方がわかりません。どの様な流れで答えまで求めて行くのですか?もしよろしければ2番も解説頂けるとありがたいです。答えと解説が無くて困っています

「電流の問題です!至急解説頂きたいです!」の質問画像

A 回答 (3件)

電流密度は、その単位を見てわかる通り


導線断面の1m²あたりを通過する電流値です
(ただし、電流は円柱の断面に垂直に流れています)
ゆえに、問1では断面1m²あたりを2.0x10⁵Aの電流れていることになります
このことから断面積がπR²なので半径Rの断面全体ではその電流は
2.0x10⁵xπR²[A]となります
また断面の半径R/2の円内の電流は、その面積π(R/2)²から
2.0x10⁵xπ(R/2)²[A]
ゆえに、この問題で問われている残りの断面(R/2~Rのドーナツ状の部分)
を流れる電流は
2.0x10⁵xπR²-2.0x10⁵xπ(R/2)²=○○
(続きの数値計算はご自分で)
となります

問2
電流密度i=ar²とは
図2のdrと書かれた半径rのリング状の部分(実際はこのリングは極めて薄いものと考えます)が仮に面積1m²であった場合、
このリングを流れる電流がar²[A]であるという意味です
ということは、半径rのリングを通過する電流は、リングの半径が大きい部分ほど大きいことになります(ただし、リングの環を回るように電流が流れているわけではなくて、リングのある面に垂直に電流は流れています)
リング半径によって電流値が変わっていくので、問1のように単純な
電流密度x面積 で計算はできませんよね
そこで、リングの極めて小さいその面積をdsとすれば
このリングを通過する電流は 電流密度x微小面積=ar²ds と表せることを利用です
リングの半径rを 0から小刻みに大きくしてRまで大きくするとき
その都度ar²dsの値を計算してそれらの和を求めれば 
半径Rの断面の電流値になりますから、和の記号∫を用いて
半径Rの断面の電流=∫[0→R]ar²dsです
求めるべき断面の電流値なら R/2~Rまでの積分でよいので
求めるべき断面の電流値=∫[R/2→R]ar²ds です
でも、rの関数をsで積分はこのままではできないので
rとsの関係を確認
s=πr² という関係ですからこれは置換積分で
ds=2πrdr
ゆえに
∫[R/2→R]ar²ds=∫[R/2→R]ar²2πrdr と求めれらそうです
ここまでくればご自分で定積分を求めて答えにたどり着けますよね?
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断面に、面積に対してー様ということは


電流は面積に比例するということ。

電流密度に半径がR/2~R 部分の面積を掛ければ電流が算出できます。
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図2にちゃんとヒントがあるではないですか。


半径 r~r+dr の面積に流れる電流を求めて、それを r=R/2 ~ R で積分すればよいだけです。
半径 r の円周は「2パイr」ですから、微小な半径差 dr とで作る面積は
 dS = 2パイrdr
になります。

問1:一定の電流密度が与えられているので、この面積 dS に流れる電流 dI は
 dI = idS = 2パイirdr
従って、r=R/2 ~ R の電流の合計は
 I = ∫[R/2→R]dI = ∫[R/2→R]2パイirdr
  =2パイi∫[R/2→R]rdr
  = 2パイi[r^2 /2][R/2→R]
  = パイi[R^2 - R^2 /4]
  = (3/4)パイiR^2

R, i の値を代入すれば、R = 2.0 * 10^(-3) [m] なので
 I = (3/4)パイ * 2.0 * 10^5 * [2.0 * 10^(-3)]^2
  = (3/4)パイ * 8.0 * 10^(-1)
  ≒ 1.9 [A]

問2:今度は、電流密度は一定値ではなく r の関数なので、面積 dS に流れる電流 dI は
 dI = idS = ar^2 * 2パイrdr = 2パイar^3 dr
従って、r=R/2 ~ R の電流の合計は
 I = ∫[R/2→R]dI = ∫[R/2→R]2パイar^3 dr
  =2パイa∫[R/2→R]r^3 dr
  = 2パイa[r^4 /4][R/2→R]
  = (1/2)パイa[R^4 - R^4 /16]
  = (15/32)パイaR^4

R, a の値を代入すれば、
 I = (15/32)パイ * 3.0 * 10^11 * [2.0 * 10^(-3)]^4
  = (15/32)パイ * 4.8
  ≒ 7.1 [A]
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