√2が無理数であることを証明

√2を有理数と仮定した時なぜ1以外の公約数を持たない自然数m、nを用いるのでしょうか？

No.7 ベストアンサー 回答者： medical_115 回答日時： 2016/05/19 07:07

有理数というのは分数で表せる数ということです。

そこでこの条件を数式化しようとします。分数で表すには２つの自然数m,nがあれば良いことがわかります。ここでこのm,nはすでに約分されている数である必要があります（分数で表す時は2/3を4/6と表したりしませんよね）。こうして1以外の公約数を持たないm,nを用いることがわかります。

No.6 回答者： tekcycle 回答日時： 2016/05/17 22:18

１以外の公約数を持つｍ、ｎで分数を実際に作ってみたでしょうか？

具体的に手を動かすことが重要です。
公約数をｌ(エル)とすると、ｍ＝ｋｌ、ｎ＝ｊｌ、と書けるわけですが。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/05/17 21:43

>なぜ1以外の公約数を持たない自然数m、nを用いるのでしょうか？

正の有理数は正の整数の分数で表すことが出来ますが
分子、分母の最大公約数で分子・分母を割り、それを改めて
分子・分母とすれば、表わす有理数の値をかえないまま、
分子と分母が1以外の約数を持たないようにできます。

このような分子・分母の関係を「互いに素」と言います。

正の有理数一つに対して、「互いに素」な分子と分母は
必ず1組だけ有ります。

質問の内容はこれと真っ向から矛盾します。つまり√(2)を
有理数とすると、√(2)を表す互に素な分子・分母は
存在しないことになります。

つまりいくら約分しても、公約数2がなくならない
奇妙な数が存在することになります。

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/05/17 17:48

公約数を持っていても良いのです。

公約数もっていたら、その公約数で両方を約しましょう、約した結果だから、もう、公約数は無いですね。いいですね。
それで結果が正しかったら、両方に公約数を掛ければ良いです。

と言うのが、前に有るンです。前を書いてないから、疑問が出る。
正直な疑問ですよ。

素因数分解の１意性の定理を使うと、公約数とか使わずに√(全ての数)
を一遍に証明出来るのですが、長くなるのでこの辺で終わりです。

No.3 回答者： takaya.A 回答日時： 2016/05/17 17:24

有利数というのは、「２つの整数　a,b (b≠0)を用いて、a/bで表せる数」です。

例えば　0.5 = 2/4 と表現出来ますが、
2と4は、公約数2を持つので、分子・分母を約分出来ます。
0.5 = 1/2となるわけです。

約分済みの式で表現するために、1以外の公約数を持たない、としています。

約分済みなので、分子m・分母nの両方が偶数になる事はありえないわけです。
（両方偶数なら、2でさらに約分できるので）

あとはノートに書いてある通り、m、ｎの両方が偶数はありえないことを用いて、
√2 = m/n　を満たす事は出来ない事を証明しています。

No.2 回答者： otchee 回答日時： 2016/05/17 17:10

①証明の論理として、必要な条件だから、そのように仮定した。

これは分かりますよね？ノートにお書きになっている通りです。

②無理数は必ずそのようなｍ、nで表せるものだから。
無理数は、分母と分子が整数の分数で表せない数のことです。
仮に、mとnが1以外の公約数を持っていたとしても、それを例えばaとして、
ｍ＝ax
n=ay
(xとyは整数)と表せることになり、m/n = ax/ay = x/yと表せます。
yとxが1以外の公約数を持っていたとしても、同じプロセスを繰り返すことで、
かならず1以外の公約数を持たない二つの整数の比でm/nを表すことが出来ますよね？

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2016/05/17 17:09

背理法を使うためです。

仮定→そういう数ｍ、ｎがあるはずだ→矛盾→仮定は誤り