No.7ベストアンサー
- 回答日時:
有理数というのは分数で表せる数ということです。
そこでこの条件を数式化しようとします。分数で表すには2つの自然数m,nがあれば良いことがわかります。ここでこのm,nはすでに約分されている数である必要があります(分数で表す時は2/3を4/6と表したりしませんよね)。こうして1以外の公約数を持たないm,nを用いることがわかります。No.6
- 回答日時:
1以外の公約数を持つm、nで分数を実際に作ってみたでしょうか?
具体的に手を動かすことが重要です。
公約数をl(エル)とすると、m=kl、n=jl、と書けるわけですが。
No.5
- 回答日時:
>なぜ1以外の公約数を持たない自然数m、nを用いるのでしょうか?
正の有理数は正の整数の分数で表すことが出来ますが
分子、分母の最大公約数で分子・分母を割り、それを改めて
分子・分母とすれば、表わす有理数の値をかえないまま、
分子と分母が1以外の約数を持たないようにできます。
このような分子・分母の関係を「互いに素」と言います。
正の有理数一つに対して、「互いに素」な分子と分母は
必ず1組だけ有ります。
質問の内容はこれと真っ向から矛盾します。つまり√(2)を
有理数とすると、√(2)を表す互に素な分子・分母は
存在しないことになります。
つまりいくら約分しても、公約数2がなくならない
奇妙な数が存在することになります。
No.4
- 回答日時:
公約数を持っていても良いのです。
公約数もっていたら、その公約数で両方を約しましょう、約した結果だから、もう、公約数は無いですね。いいですね。
それで結果が正しかったら、両方に公約数を掛ければ良いです。
と言うのが、前に有るンです。前を書いてないから、疑問が出る。
正直な疑問ですよ。
素因数分解の1意性の定理を使うと、公約数とか使わずに√(全ての数)
を一遍に証明出来るのですが、長くなるのでこの辺で終わりです。
No.3
- 回答日時:
有利数というのは、「2つの整数 a,b (b≠0)を用いて、a/bで表せる数」です。
例えば 0.5 = 2/4 と表現出来ますが、
2と4は、公約数2を持つので、分子・分母を約分出来ます。
0.5 = 1/2となるわけです。
約分済みの式で表現するために、1以外の公約数を持たない、としています。
約分済みなので、分子m・分母nの両方が偶数になる事はありえないわけです。
(両方偶数なら、2でさらに約分できるので)
あとはノートに書いてある通り、m、nの両方が偶数はありえないことを用いて、
√2 = m/n を満たす事は出来ない事を証明しています。
No.2
- 回答日時:
①証明の論理として、必要な条件だから、そのように仮定した。
これは分かりますよね?ノートにお書きになっている通りです。
②無理数は必ずそのようなm、nで表せるものだから。
無理数は、分母と分子が整数の分数で表せない数のことです。
仮に、mとnが1以外の公約数を持っていたとしても、それを例えばaとして、
m=ax
n=ay
(xとyは整数)と表せることになり、m/n = ax/ay = x/yと表せます。
yとxが1以外の公約数を持っていたとしても、同じプロセスを繰り返すことで、
かならず1以外の公約数を持たない二つの整数の比でm/nを表すことが出来ますよね?
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