偏差積和の変形

多変量解析法入門(サイエンス社)という書籍で、単回帰分析のテコ比の解説で次の変形に出会いました。P.52 (4.34)式です。

β1 = Sxy/Sxx = (Σ(xi-x)(yi-y))/Sxx = (Σ(xi-x)yi)/Sxx
x : xの平均
y : yの平均

最後の式変形でなぜyが消えたのでしょうか、どうしても理解できません。
すみませんが、宜しくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2016/05/22 07:58

[1] Σが、たとえばi=1〜Nについての総和のことだとしましょう。

すると、
　　x = (Σxi)/N
です。

[2] さて、ご質問の式の分子Sxyの中の(yi-y)を展開してみましょう。
　　Σ((xi-x)(yi-y))
　　　= Σ((xi-x)yi-(xi-x)y)
　　　= Σ((xi-x)yi)-Σ((xi-x)y)
　　　= Σ((xi-x)yi)-yΣ(xi-x)

[3] ここで、
　　Σ(xi-x) = (Σxi)-(Σx)
であり、Σx ってのは「xをN回たす」ってことですから、
　　Σx = Nx
である。さらに、[1]の式から
　　Nx = Σxi
が得られますから、
　　Σ(xi-x) = (Σxi)-Nx = 0
である。

[4] なので結局、
　　Σ((xi-x)(yi-y)) = Σ((xi-x)yi)
というわけで、ご質問の式の右辺の分子が得られます。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます！
大変助かりました。

少し驚きました。x,yのどちらかの平均は式から消せますね。

お礼日時：2016/05/22 08:08