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次の数列{Cn}の一般項Cnを求めよ
1,2,5,6,9,10,13...

どのようにすれば解けますか?

A 回答 (4件)

数列{Cn}の階差数列を{Bn}、数列{Bn}の階差数列を{An}とします。


{Cn} 1,2,5,6,9,10,13...
{Bn} 1,3,1,3,1,3,…
{An} 2,(-2) ,2,(-2),…

An=2・(-1)^(n-1)

n≧2 のとき、
Bn=1+Σ[k:1→(n-1)] An
=1+Σ[k:1→(n-1)] 2・(-1)^(n-1)
=1+2 Σ[k:1→(n-1)] (-1)^(n-1)
=1+2 [1{1-(-1)^(n-1)}] /{1-(-1)}
=1+1 - (-1)^(n-1)
=2 - (-1)^(n-1)
n=1 のときも成り立つ。

Bn=2 - (-1)^(n-1)

n≧2 のとき、
Cn=1+Σ[k:1→(n-1)] Bn
=1+Σ[k:1→(n-1)] {2 - (-1)^(n-1)}
=1+Σ[k:1→(n-1)] 2 - Σ[k:1→(n-1)] (-1)^(n-1)
=1+2(n-1) - [1{1-(-1)^(n-1)}] /{1-(-1)}
=1+2n - 2 -1/2 + (-1)^(n-1)/2
=2n - 3/2 + (-1)^(n-1)/2
={4n - 3 + (-1)^(n-1)}/2
n=1 のときも成り立つ。

したがって、
Cn={4n - 3 + (-1)^(n-1)}/2
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階差数列を


b(n)=c(n+1)-c(n)
とすると
c(1)=1
c(2)=2,b(1)=c(2)-c(1)=1
c(3)=5,b(2)=c(3)-c(2)=3
c(4)=6,b(3)=c(4)-c(3)=1
c(5)=9,b(4)=c(5)-c(4)=3
c(6)=10,b(5)=c(6)-c(5)=1
c(7)=13,b(6)=c(7)-c(6)=3

だから

b(n)=c(n+1)-c(n)=2+(-1)^n
だから
b(k)=c(k+1)-c(k)=2+(-1)^k
Σ_{k=1~n}b(k)=Σ_{k=1~n}{c(k+1)-c(k)}=Σ_{k=1~n}2+(-1)^k
=Σ_{k=1~n}c(k+1)-Σ_{k=1~n}c(k)
=Σ_{j=2~n+1}c(j)-Σ_{k=1~n}c(k)
=Σ_{k=2~n+1}c(k)-Σ_{k=1~n}c(k)
=
c(n+1)-c(1)=Σ_{k=1~n}{2+(-1)^k}

c(n+1)=c(1)+Σ_{k=1~n}{2+(-1)^k}

c(n)=c(1)+Σ_{k=1~n-1}{2+(-1)^k}
c(n)=1+Σ_{k=1~n-1}{2+(-1)^k}
c(n)=1+2(n-1)+Σ_{k=1~n-1}(-1)^k
c(n)=2n-1+Σ_{k=1~n-1}(-1)^k

n=2m-1の時c(n)=2n-1
n=2mの時c(n)=2n-2

c(n)=2n-1-{1+(-1)^n}/2
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b[n]=2+(-1)^n という数列を利用すれば漸化式が作れるのでそれを解けば答えは出るんじゃないの。

知らんけど。
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還暦過ぎの爺さんですがんが偶数と奇数で場合分けすればすぐわかると思うけどね。

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